排序算法之希尔排序及其增量序列

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了排序算法之希尔排序及其增量序列相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

希尔排序


其他排序方法:选择排序冒泡排序归并排序快速排序插入排序希尔排序


思想

希尔排序大概就是,选一组递减的整数作为增量序列。最小的增量必须为1:(D_M>D_{M-1}>...>D_1=1)

  • 先用第一个增量把数组分为若干个子数组,每个子数组中的元素下标距离等于增量;
  • 然后对每个子数组进行简单插入排序
  • 再使用第二个增量,继续同样的操作,直到增量序列里的增量都使用过一次。
    (增量为1时,其实就是对整个数组进行简单插入排序)

图解

看图更容易理解吧:
(借用一下慕课的浙大数据结构课件。因为课件原本是ppt,而我只有pdf,所以颜色没有上齐,请将就将就emmm)
技术图片

性能

希尔排序快不快主要取决于我们怎么取增量序列,原始希尔排序的取法就是:(D_M=lfloor N/2 floor, D_k=lfloor D_{k+1}/2 floor)
此增量序列也成为Shell增量序列
原始希尔排序最坏的时间复杂度为(O(n^2))

代码

# 原始希尔排序
# 增量序列为D(M)=N/2, D(k)=D(k+1)/2 向下取整
def shellSort(arr):
    size = len(arr)
    # 正整数右移一位相当于除以2且向下取整
    step = size >> 1
    while step > 0:
        for i in range(step, size):
            j = i
            tmp = arr[j]
            while j >= step:
                if tmp < arr[j - step]:
                    arr[j] = arr[j - step]
                    j -= step
                else:
                    break
            arr[j] = tmp
        step = step >> 1

优化

希尔排序的优化主要是针对增量序列的优化。
增量序列如果取得不好,效率比直接插入排序还要低,下面举个例子(直接借用课件了):

技术图片

在这个例子里,前几个增量没有起到任何作用(只起到了拖延时间的作用哈哈)。
所以有人就发现了,如果增量之间不互质的话,那有些情况就不管用了。

于是有些大佬们就整出了下面这些增量序列:Hibbard增量序列Knuth增量序列Sedgewick增量序列等等
下面主要介绍Hibbard增量序列Sedgewick增量序列

Hibbard增量序列

Hibbard增量序列的取法为(D_k=2^k-1):{1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191...}
最坏时间复杂度为(O(N^{3/2}));平均时间复杂度约为(O(N^{5/4}))

先来个Hibbard增量序列的获取代码:

# Hibbard增量序列
# D(i)=2^i?1,i>0
def getHibbardStepArr(n):
    i = 1
    arr = []
    while True:
        tmp = (1 << i) - 1
        if tmp <= n:
            arr.append(tmp)
        else:
            break
        i += 1
    return arr

排序代码稍微修改一下就行:

# 希尔排序(Hibbard增量序列)
def shellSort(arr):
    size = len(arr)
    # 获取Hibbard增量序列
    stepArr = getHibbardStepArr(size)
    # 因为要倒着使用序列里的增量,所以这里用了reversed
    for step in reversed(stepArr):
        for i in range(step, size):
            j = i
            tmp = arr[j]
            while j >= step:
                if tmp < arr[j - step]:
                    arr[j] = arr[j - step]
                    j -= step
                else:
                    break
            arr[j] = tmp

至于为什么要用python内置函数reversed(),而不用其它方法,是因为reversed()返回的是迭代器,占用内存少,效率比较高。
如果先使用stepArr.reverse(),再用range(len(arr))的话,效率会比较低;
而且实测reversed也比range(len(arr) - 1, -1, -1)效率高,故使用reversed();
还有就是先stepArr.sort(reverse=True),再用range(len(arr)),同样效率低。
这几种方法比较的测试代码在这里,有兴趣的朋友可以看看:Python列表倒序输出及其效率

Sedgewick增量序列

Sedgewick增量序列的取法为(D=9*4^i-9*2^i+1)(4^i-3*2^i+1):{1, 5, 19, 41, 109, 209, 505, 929, 2161...}
最坏时间复杂度为(O(N^{4/3}));平均时间复杂度约为(O(N^{7/6}))

Sedgewick增量序列的获取代码:

# Sedgewick增量序列
# D=9*4^i-9*2^i+1 或 4^(i+2)-3*2^(i+2)+1 , i>=0
# 稍微变一下形:D=9*(2^(2i)-2^i)+1 或 2^(2i+4)-3*2^(i+2)+1 , i>=0
def getSedgewickStepArr(n):
    i = 0
    arr = []
    while True:
        tmp = 9 * ((1 << 2 * i) - (1 << i)) + 1
        if tmp <= n:
            arr.append(tmp)
        tmp = (1 << 2 * i + 4) - 3 * (1 << i + 2) + 1
        if tmp <= n:
            arr.append(tmp)
        else:
            break
        i += 1
    return arr

排序代码稍微修改一下就行:

# 希尔排序(Sedgewick增量序列)
def shellSort(arr):
    size = len(arr)
    # 获取Sedgewick增量序列
    stepArr = getSedgewickStepArr(size)
    for step in reversed(stepArr):
        for i in range(step, size):
            j = i
            tmp = arr[j]
            while j >= step:
                if tmp < arr[j - step]:
                    arr[j] = arr[j - step]
                    j -= step
                else:
                    break
            arr[j] = tmp

其他排序方法:选择排序冒泡排序归并排序快速排序插入排序希尔排序

以上是关于排序算法之希尔排序及其增量序列的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

排序算法之希尔排序

图解排序算法之希尔排序

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算法讲解Scartch经典算法4之--希尔排序算法

图解排序算法之希尔排序

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