物理电场的力和能的性质

Posted 2020-11-27 paulliant

前言

? 本文主要讲解处理高考物理中电场相关问题的方法，并给出例题示范。可能讲的比较简单，希望能起到抛砖引玉的作用。本文会对静电场的概念和公式进行梳理，并给出在考题中的应用。

概念和公式

电场强度和电场力

概念

? 电场是存在于电荷周围能传递电荷与电荷之间相互作用的物理场。在电荷周围总有电场存在；同时电场对场中其他电荷发生力的作用。观察者相对于电荷静止时所观察到的场称为静电场。 （维基百科）

? 电场力是当电荷置于电场中所受到的作用力。或是在电场中为移动自由电荷所施加的作用力。其大小可由库仑定律得出。当有多个电荷同时作用时，其大小及方向遵循矢量运算规则。 （维基百科）

? 从上述维基百科的解释，我们可以粗略的得出以下结论：

• 电场是客观存在的物质；

• 电场力是一种以电场为施力物体的作用力；

• 电场力大小由得出库仑定律；

• 既然是力，那么自然遵从力的矢量合成法则。

公式

• 公式 ( m{I}) （库仑定律）

  [ F=k{q_1q_2over r^2} ]
  ? 其中 (q_1,q_2) 表示两个点电荷的电量，(r) 表示距离，(k) 是静电力常数，约等于 (9 imes10^9 Ncdot m^2cdot C^{-2}) 。

• 公式 ( m{II})
  [ E={Fover q} ]
  ? 这便是电场强度 (E) 的比值定义式，与电场力和试探电荷电量均无关。联立 ({ m I},{ m II}) 可以解得(displaystyle E=k{qover r^2})。

• 公式 ( m III) （电场叠加原理）
  [ {old E}= {sum_i} {old E_i}={old E_1}+{old E_2}+{old E_3}+cdots ]
  ? 电场强度和电场力一样，都是矢量，故满足矢量合成法则。高考中虽然说的是只限于勾股定理的矢量合成，但是，余弦定理也是能强行导出来的嘛（逃）。

电势和电势能

概念

? 假设检验电荷从无穷远位置，经过任意路径，克服电场力，缓慢地移动到某位置，则在这位置的电势，等于因迁移所做的机械功与检验电荷量的比值。 （维基百科）

? 在静电学里，电势能是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关。 （维基百科）

? 不难发现，由于电场的存在，电荷在某一电势中，对外表现出电势能。电势能与引力势能相同，是一个相对的量，人为设定零势能。电势与电势能均为标量，满足代数运算法则。

公式

• 公式 ( m{I})
  [ E_p=varphi q ]
  ? 其中 (varphi) 表示电势，(q) 表示点电荷电量，(E_p) 表示该点电荷表现出的电势能。

• 公式 ( m II)
  [ varphi = k{qover r} ]
  ? 上式为某一电量为 (q) 的点电荷，若设定无穷远为零势能，在距离 (r) 的电势。这条公式在课本里没有推导，但在题目中比较常用，个人给出以下推导：

  ? 设 (q_1) 为中心电荷，(q_2) 为试探电荷，求 (q_2) 在 (r) 位置的电势。
  [ egin{align*} varphi&={displaystyle int_r^{+infty} k{q_1q_2over x^2}{ m d}xover q_2}&=kq_1int_r^{+infty}{1over x^2}{ m d}x&=kq_1{ig (}0-(-{1over r}){ig)}&=k{q_1over r} end{align*} ]

• 公式 ( m III)
  [ U=-Deltavarphi ]
  ? (U) 是一个过程量，表示电势差。(varphi) 是一个状态量，而 (Delta varphi) 便表示它的变化量。注意区分 (U) 和 (varphi) 。

  ? 相应的，我们也有 (W=-Delta E_p)，我们可以通过本式同除以 (q) 得到上式。

电场强度、电场力与电势、电势能之间的关系

? 一般的，我们有下列公式：
[ egin{cases} U =EdF =EqW =UqW =Fd end{cases} ]
? 下图是一个直观展示上面四个量关系的图

? 想必上图已经相当清楚得描述了这四个量之间的相对关系了。特别指出，(U,W) 是两个过程量，相对的状态量为 (varphi,E_p)。那么到现在，关于静电场的基本公式已梳理完毕。

一些深入的理解

? 读者是否还记得“电场线”和“等势线”的概念？电场线是用来描述电场的，等势线是用来描述电势的，它们的几何关系是等势线垂直电势。

? 假设 ({ m d}x) 是很小的一段位移，而 (dvarphi) 是该段位移的电势变化量，设 (U) 为该位移的电势差，我们有
[ egin{align*} E&= {Uover { m d} x}&= -{{ m d}varphiover { m d}x} end{align*} ]
? 我们先不管正负号的问题。不难发现，如果作出 (varphi-x) 的图像，那么电场强度 (E) 的大小便是 (varphi) 对 (x) 的导数的绝对值，相反的，(E) 对 (x) 求积分便得到 (varphi)。 于是我们从理论上证到了，(varphi-x) 曲线在某位置斜率越大，那么该位置电场强度越大。

? 如果把电势能比喻成重力势能，那么等势线就可以想象成地理中的等高线，电场线所指的方向，其实就是一个小物体在山坡上的下滑方向。于是，我们得到 (varphi-x) 甚至是 (varphi-x,y) 的图像后，顺着斜坡的方向便是电场方向。

? 下图就是一个正点电荷的二维电场的图像，方程为 (displaystyle varphi=k{qover sqrt{x^2+y^2}}) 。看上去像是一个“空间反比例函数”。

? 我们知道，电势是标量，那么如果有多个点电荷，它们在空间产生的电势是直接相加的。而电场强度是标量，所以是矢量相加的。下图是一个正点电荷和一个负点电荷在二维平面上产生的电场图像。

? 平时如果遇到图像题，可能是 (E_p-x,v-x,varphi-x,E-x) 等的图像，其实道理都差不多。而做比较电场强度和电势大小的题，有时脑海中有图像会让问题清晰很多。

例题和题解

• 在真空中 (x) 轴上的原点处和 (x=6a) 处分别固定一个点电荷 M、N，在 (x=2a) 处由静止释放一个正点电荷 P ,假设点电荷 P 只受电场力作用沿 (x) 轴运动，得到点电荷 P 速度大小与其在 (x) 轴上的位置关系如图所示（其中在 (x=4a) 处速度最大），则下列说法正确的是 (　　)

A. 点电荷 M、N 一定都为负电荷

B. 点电荷 M、N 一定为异种电荷

C. 点电荷 M、N 所带电荷量的绝对值之比为 (4∶1)

D. (x=4a) 处的电场强度不一定为零

? 这是一道典型的图像题。题目给的是 (v-x) 图像，但由 (displaystyle {E_k={1over 2}mv^2}) ，我们发现 (E_k-x) 的图像增减性与上图相同。由因为该点电荷只受电场力作用，故我们得到 (E_k+E_p) 的值不变，于是，(E_p) 增减性与上图相反，由因为正电荷，(varphi) 增减性与上图相反。根据以上分析，我们可以画出 (varphi-x) 的图像了。

? 绘制出图像发现是一个向下凹的曲线。我们已经梳理过分析电势叠加的方法，要生成该曲线，显然需要两个正点电荷，故 ( m A,B) 错误。由于在 (x=4a) 点，曲线的斜率为 (0)，故我们得到该点电场强度为 (0)，由库仑定律得 (displaystyle k{q_Mover (4a)^2}=k{q_Nover (6a-4a)^2})，解得 (q_M:q_N=4:1)。故 ( m C) 正确，( m D) 错误。

• （多选）如图所示，在平面直角坐标系 (xOy) 的 ((-9,0),(9,0)) 两点处固定着电荷量分别为 (+q,-4q) 的两个点电荷，(A,B) 为 (y) 轴上两点,坐标分别为 ((0,1),(0,-5))，M、N、P、Q四个点是以正点电荷为中心的正方形的四个顶点。在上述两个点电荷所形成的电场中，下列说法正确的是 (　　)

A. (x=-3{ m cm}) 处的电场强度为 (0)

B. B点的电势高于A点的电势，A点的电场强度大于B点的电场强度

C. N点的电势与Q点的电势相等

D. 将某一正电荷从N点移动到M点电场力所做的功小于将其从P点移动到Q点电场力所做的功

? 注意电场强度是一个矢量，而电势是标量，结合 (displaystyle F=k{q_1q_2over r^2}) 以及 (displaystyle varphi=k{qover r}) 这两条式子可以得到选项A、C是错误的。

? A点与B点相比，不仅受到两个点电荷的电场强度都大，而且夹角还更小，故合称得的总电场强度一定更大。对于电势大小，有两种分析方法：令无穷远为零电势，A点离两个点电荷距离相同，但 (-4q) 的电荷量绝对值要更大一些，故A点电势为负值，而 (B) 点离两点电荷的距离是等比例的变大的，故B点电势大于A点电势；或者你发现 (-4q) 的电荷量绝对值大，那么它对等势线的影响肯定是更大的，故过A、B的等势线为向右开口的曲线，能得到同样的结论。故B是正确的。

? D项中，由于对称性，两次移动中 (+q) 作的功是一样的，故只看 (-4q) ，比较显然，由于第一次移动时离 (-4q) 的距离没有第二次近，故第一次平均电场力大，而移动距离相同，于是D项正确。

? 当初做这题的时候，我发现了一个结论。令无穷远处电势为零，电势能为零的电势线是什么形状的？

? 我们用 (q_1,q_2) 表示两个点电荷，(r_1,r_2) 分别表示点离两点电荷的距离，电势能为零的点满足以下条件。
[ k{q_1over r_1}+k{q_2over r_2}=0 ]
? 化简得 (displaystyle {r_1over r_2}=-{q_1over q_2})，在 (q_1,q_2) 为异种电荷，且电荷量不相等的情况下。这条表达式，竟然是圆的第二定义，也就是阿氏圆。

? 于是，经过稍稍拓展之后，我出了下面这道题（可能会有没考虑到的地方）：

• 空间中有两个点电荷 (q_1,q_2) ，该空间的等势面中存在且仅存在一个球面，且该球面的直径与 (q_1,q_2) 的距离相等，求 (q_1) 与 (q_2) 电荷量之比（假设 (|q_1|>|q_2|)）。

? 大概说一下思路吧。首先，拍扁成二维平面，原题等价于该平面的等势线中存在且仅存在一个圆，且该圆的直径与 (q_1,q_2) 距离相等。然后，由上述的结论可得，设 (displaystyle lambda ={r_1over r_2}) ，原题所求的 (displaystyle {q_1over q_2}) 之比其实就是 (-lambda) 。通过设一些长度，我们可以解方程解得 (lambda=sqrt2+1)，于是我们得到原题答案为 (-sqrt2 -1)。

? 然后我问了班上的一个物竞生，他知道这个东西，并且告诉我，圆心与两点电荷连线长度的乘积等于半径的平方。我试了一下，确实是这样的，可能这个结论能用在以后的数学题里吧？

总结

? 感觉电场出的选择题还是挺多的，但如果能把握好概念，理解较深入，还是能比较快的写出来的。嘛，还是得多做题，总结就复习的时候看看得了。