由一点的发现

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近期由于疫情的原因,大家都在家中上着网课,而在数学选修2-3排列组合第一堂课中,王丽老师的一道例题,引发了我的思考。
(~~)

题目的描述是这个样的:

技术图片

这道题的解题思路有很多种,
我们不妨把这四个人,设为(~A、B、C、D~)四个。

例如正着思考(老师上课讲的):
不妨令 (A) 作为第一个人去拿贺卡,因为 (A) 不能拿自己的,所以有({color{red}{3}})种可能,那我们再以那个被拿走卡片的人作为第二个拿卡片的人,剩下三张卡片,但是没有这个人自己的,所以也有({color{red}{3}})种可能,这样剩下两个人,剩下两张贺卡,其中一定有一个人以及他的贺卡被拿走了,所以剩下的两个人中,必定有至少一个人和贺卡都没有被拿走,所以这个人不能拿走自己的贺卡,所以只有({color{red}{1}})种可能,而剩下的最后一个人也只有({color{red}{1}})种可能。综上所述,分配方式一共有({color{blue}{3*3*1*1}~color{gree}{=}~color{red}{9}})种可能。

这个题还可以反着思考(自我思维的扩展):
四个人全都不一样不就是四个人里面随机排列中减去(color{white}{有一个人拿自己的,有两个人拿自己的,有三个人拿自己的,有四个人拿自己的})
四个人的随机排列,就是 (A_4^4) ,
有一个人拿自己的,就是 (C_4^1) (*) 只有三个人拿贺卡不拿自己的数量
有两个人拿自己的,就是 (C_4^2) (*) 只有两个人拿贺卡不拿自己的数量
有三个人拿自己的,就是 (C_4^3) (*) 只有一个人拿贺卡不拿自己的数量
有四个人拿自己的,就是 (C_4^4) (*) 没有人拿贺卡不拿自己的数量

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