三分法求最值简介

Posted 2020-11-27 -singercoder

算法介绍

• 算法简介：三分法适用于以O（$logn$)复杂度求解单峰函数的最值，平均每次舍去$1/3$的定义域。

• 适用条件：

  1. 有界性：有明确的初始定义域。

  2. 单峰性：仅存在一个目标最值，且最值两侧的函数单调。

（注：二分法用于求解单调函数零点，三分法用于求解单峰函数最值，二者思想相似，但适用条件有本质区别）

• 实现细节：

  1. 确定初始区间$l,r$。

  2. 找到三等分点$m1,m2$，求出函数在这两点的函数值$f1,f2$。

  3. 比较$f1,f2$，将其中与最值方向相反的三等分点，所在的$1/3$定义域舍去。（详解见下，可配合画图理解）

---

模板分析

Deadline(CF1288A)

• 题意：一个程序被要求在n天以内得出结果，但它实际得出结果却需要运行d天。你可以花费x天优化程序，使程序实际运行所需时间降为${d} over {x+1}$（向上取整）。输入t组数据，判断能否在n天以内得出结果。

• 分析：不考虑函数值的取整，实际花费总时间$f(x)=x+$ ${d} over {x+1}$。由均值不等式可得，该函数为有最小值的单峰函数，可用三分法求出最小值。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int get_min(int n,int d)
{
    double l=0,r=n,m1,m2,f1,f2;//有界性，0<=x<=n
    while(r-l>1e-2)
    {
        m1=l+(r-l)/3;
        m2=r-(r-l)/3;//求出三等分点
        f1=m1+d/(m1+1);
        f2=m2+d/(m2+1);
        if(f1>f2)l=m1;//*舍弃与最值方向相反的三等分点，所在的1/3区间 
        else r=m2;
    }
    return min((int)l+ceil((double)d/((int)l+1)),ceil(l)+ceil((double)d/(ceil(l)+1)));//返回最小整数解 
}
inline void solve()
{
    int n,d;
    scanf("%d %d",&n,&d);
    d=get_min(n,d);
    if(d<=n)printf("YES
");
    else printf("NO
");
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++)
    solve();
    return 0;
}