说说红黑树——不谈操作，只讲理解

Posted 2020-11-26 tuyang1129

一、前言

??这几天想学一学红黑树这种数据结构，于是上网找了很多篇博客，初看吓了一跳，红黑树竟然如此复杂。连续看了几篇博客后，算是对红黑树有了一些了解，但是它的原理却并不是特别理解。网上的博客，千篇一律的都是在叙述红黑树的操作，如何插入节点、删除节点，旋转、变色等，只关注如何正确构建一棵红黑树，但是却很少提及为什么这么做。这篇博客我就来记录一些我所知道的红黑树中比较重要的东西，以及谈一谈我的理解。

??我不会描述红黑树的具体实现，因为阅读红黑树具体实现的过程中，我发现这真的不是很重要，没有太大的意义（这绝对不是自我安慰⊙﹏⊙∥），真正重要的是红黑树的思想。如果想要了解红黑树的具体实现，建议阅读这篇文章：https://mp.weixin.qq.com/s/hGHJonK999TAVJakPDNAkg

二、正文

? 2.1 二叉搜索树和平衡二叉树

??在谈二叉红黑树之前，先来说一说二叉搜索树以及平衡二叉树，因为平衡二叉树是为了弥补二叉搜索树而发明出来的，而红黑树又是为了弥补平衡二叉树。

?（1）二叉搜索树

??二叉搜索树比较简单，它是一棵二叉树，而且满足这样一个性质：对于树上的每一个节点，它左子树上的节点的值都比它小，而右子树上的节点的值都比它大。如下，就是一棵二叉搜索树：

??当我们需要往一棵二叉搜索树中插入节点时，只需要从根节点开始，依次比较，若比根节点小，则向左走，继续和左子节点比较，反之继续和右子节点比较，以此类推。这样的操作其实就和二分差不多，在节点值分布均匀的情况下，也就是树的结构如上所示时，查找的时间复杂度为O（logN），因为二叉搜索树的查询完全复杂度依赖于树的深度。所以，它有一个很大的缺陷，就是可能出现如下情况：

??我们每次插入的节点都比最小值要小，于是最终所有的节点就连成了一条链，此时深度为N，查找的时间复杂度就是O（N）了。为了解决这个问题，于是又有了平衡二叉树。关于二叉搜索树，可以参考这个博客：https://www.jianshu.com/p/ff4b93b088eb。

?（2）平衡二叉树

??平衡二叉树也是一棵二叉搜索树，但是它还有一个性质，就是这棵树上的每一个节点，其左子树和右子树的高度差都不超过一。比如图一中的二叉树，它就时一棵平衡二叉树，而下面这张图中的树就不是平衡二叉树，因为节点9和节点5都不平衡，它们的左右子树的高度差都是2。

??当发生不平衡的情况时，可以通过左旋和右旋的方式，在不改变二叉搜索树的性质的前提下，将树调整为平衡状态，这就是平衡二叉树。对于左旋和右旋的具体实现，我这里就不描述了，想要了解可以参考这篇博客：https://www.jianshu.com/p/655d83f9ba7b。

? 2.2 有了二叉搜索树和平衡二叉树，为什么还要红黑树

??这个问题是一个面试题，下面我就来简单叙述一下。首先，二叉搜索树在极端情况下会变成一个链表，从而导致查询的时间复杂度大大提高，变成线性复杂度，而平衡二叉树正是为了解决这个问题才被发明出来。但是，平衡二叉树也有一定的局限。对于平衡二叉树来说，每个节点的子树的高度差不能超过1，一旦出现违反的情况，就需要进行左旋或者右旋操作，从而调整二叉树的高度。但是，在插入和删除节点的过程中，平衡度超过1是经常发生的事情，这也就导致了调整操作频繁地发生，从而提高时间复杂度。也就是说，这种追求绝对平衡的行为，并不是一个好的做法。

??红黑树的出现正是为了解决平衡二叉树的问题，它是平衡二叉树的变形，或者说升级。红黑树并不追求绝对的平衡，它实现的是近似的平衡，这样破坏规则导致需要调整的情况就会大大减少，而且每次也只需要少量的调整即可恢复。也就是说，他在平衡和效率之间做了一个折中。但是统计发现，这种折中对查找的效率并没有多大的降低，这也就导致了红黑树在大多数情况下要优于平衡二叉树。而红黑树的这种折中，依靠的就是它五条性质，或者说五条约束来实现。

? 2.3 红黑树的五大性质

??这里先放出红黑树的五大性质：

1. 树中的所有节点，要么是红色，要么是黑色；
2. 树的根节点是黑色；
3. 树中的叶子节点是黑色；（注意：这里的叶子节点不是指没有子节点的节点，而是指的空节点，比如某个节点没有左子节点，那这个不存在的左子节点其实就是这里说的叶子节点）
4. 红色节点的子节点一定是黑色，也就是说没有两个连在一起的红色节点；
5. 每个节点到任意一个叶子节点，经过的黑色节点数量是相等的；

??这五条性质单独分开来看都很好理解，但是放在一起就有点迷惑了，为什么是这五条性质，它们之间有什么关系？关系肯定是有的，发明红黑树的专家，经过大量的数学推导，理论验证，才组合出这五条性质，它们相辅相成，共同维护了红黑树的结构。就像机器人三大准则一样，相辅相成，完全地约束了机器人的行为。这里就来简单描述几条红黑树的定理，它们都是由上述结论推导而来。

? 2.4 红黑树的定理

?（1）红黑树从根节点到叶子节点的最长路径，不会大于最短路径的两倍

??这条定理是怎么来的呢？它是通过上面的定理推导而来。我们看上述性质5可知，从根节点到任意一个叶子节点，经过的黑色节点数目是相同的。而性质4又规定，不能有两个红色节点连在一起。于是我们这样考虑，假设从根节点到每个叶子节点，都是经过3个黑色节点，那么怎样才能让路径尽可能长？答案当然是尽量在黑色节点中插入红色节点，用红色节点充数。但是由于性质4，所以红色节点不能多放。于是，理论上的最长路径，一定是一个黑节点，连着一个红节点，再连着一个黑节点，以此类推。我们之前假设每条路径都是3个黑节点，再加上性质2说根节点一定是黑色，所以从根节点到子节点最多只能有6个节点，三黑三红交叉连接。那理论上的最短路径又是如何？当然是不包含任何一个红色节点，也就是只有3个黑节点。也就是说，理论上，最长路径，最多是最短路径的两倍。这个结论就限制了红黑树的最大平衡差，也就保证了不会出现图二这种情况。

?（2）一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为2log(n+1)

??这个结论是经过一系列数学推导得出的，比较复杂，我也没有仔细研究过，想要了解的可以看看这篇博客：https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3245399.html#a2。

??从这个结论可以看出什么？红黑树也是一个二叉搜索树，而二叉搜索树的查找次数取决于树的深度。此结论说明红黑树的高度至多为2log(n+1)，也就是说红黑树的查找效率也是O（logn）级别的，和平衡二叉树近似，再加上红黑树的调整平衡的次数相对较少，所以总体来说，红黑树要优于平衡二叉树。

三、总结

??最后我忍不住吐槽一下，我看了大量红黑树的讲解博客，都是千篇一律的在描述如何操作构建一棵红黑树，如何操作能够不违反红黑树的这五条性质，一旦讲完操作就戛然而止。在学习红黑树时，我硬着头皮把红黑树的操作看完，才发现这些操作根本没有太大的意义，它们只不过是列举操作红黑树的各种情况，告诉你什么时候应该怎么做而已，而你只能背下这些操作，但是完全不能理解这些操作有什么意义，只知道它们唯一的作用就是维持这五大性质。仿佛将红黑树的操作实现强行记下，写出代码，就是学会了红黑树，理解了红黑树。可是实际上，这五条性质只是结论，只是他人研究的最终产物罢了，而红黑树仅仅是在使用这些结论。如果只是学会了红黑树的实现方式，仅仅只是在使用这些结论，和调API有什么区别。但是，网上的博客都是千篇一律，偏偏标题取得是一个比一个厉害，什么《学会红黑树这一篇就够了》，《十分钟彻底理解红黑树》，《看完这篇博客，再也不怕面试管问红黑树了》......这些标题的博客数不胜数，但是内容却都是在介绍操作，极少叙述思想。一想到我花了大量时间，最后发现自己看的都是些意义不大的实现细节，就感觉对不起自己。

??我个人认为，学习算法和数据结构，真正重要的是理解它的思想，而不是如何做。说句实话，如果不是做算法相关的工作，工作中真的需要我们自己写红黑树吗？可以说基本上不可能用到。当然，不是说研究具体实现是一种错误的行为，研究算法和数据结构的实现能够锻炼自己的编码能力，是有好处的。但是大部分人是为了学习数据结构本身，如果只学会了写代码，不知道原理，那就有点本末倒置了，而且很快就会忘记。

四、参考

• https://www.cnblogs.com/gofighting/p/5437998.html
• https://mp.weixin.qq.com/s/p_fEMMNjlnPbbwY9dDQMAQ