Part 3 中值定理与导数应用

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Part 3 中值定理与导数应用相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

中值定理与导数应用

1. 理论准备

预备：闭区间上连续函数的最值定理。

问题：这些最值点在哪里？

  • (1^。)先找怀疑点。画出图形之后，直观的怀疑点出现在闭区间端点和峰、谷。
  • (2^。)给出以上猜想的数学描述。
  • (3^。)查漏补缺。
  • (4^。)计算这些可疑点的函数值。从而得出结论。

1.1. 极值

定义：设对函数(f(x),exists x_0in D(f),delta>0,s.t.U(x_0, delta_0)subset D(f),exists 0<delta_0 < delta,)当(xin U(x_0, delta_0)，)都有(f(x)leq f(x_0),)就称(f(x_0))是极大值，(x=x_0)为极大值点。
这里的模糊不等关系，使得(y=C)上处处是极大极小值，条件更弱，从而有更多的极值点，使用可能更广泛。
补充定义：极大值和极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

  • 说明：由于定义中使用了邻域的概念，从而排除了区间两个端点的可能性。即：极值点一定出现在函数定义域的内部。以下我们研究的就是“峰”和“谷”。

1.2. 极值点的性质

尽管我们找到了对这些概念的数学描述，但找到这些可疑点还需要再走出一步，这一步就是对极值点性质的研究。

1.2.1. 费马定理

通过作出图像，以及我们看出的这些“峰”“谷”处的切线，我们大胆猜想，这些地方的导数值为零。

这个想法即为费马定理:

若(f(x))在(x=x_0)处取到极值且(f‘(x_0))存在，则(f‘(x_0)=0)。反之不成立（存在非极值点的驻点）。
从而这个定理又称为取到极值的必要条件。

  • 证明：由(f(x))在(x=x_0)处取到极值，不妨设(f(x))在(x=x_0)处取到极大值，即(existsdelta_0>0, xin U(x_0, delta_0),f(x)leq f(x_0)Leftrightarrow f(x) - f(x_0)leq 0,)由(f‘(x_0))存在，即(f‘(x_0)=limlimits_{x o x_0}frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0},)由引理得(f‘_-(x_0)=limlimits_{x o x_0^-}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}geq 0.f‘(x_0)=f‘_+(x_0)=limlimits_{x o x_0^+}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}leq 0.)故而(f‘(x_0)=0.)

引理：(保号性)若(existsdelta_0>0,)当(xin U_0(x_0, delta_0))时，都有(f(x)leq g(x),)且(limlimits_{x o x_0}f(x)=A.limlimits_{x o x_0}g(x)=B，)则(Aleq B)

若(f(x))在(x=x_0)取到极值：

  1. (f‘(x_0))存在，则(f‘(x_0)=0.)
  2. (f(x))在(x=x_0)处不可导。

从而我们有：

1.2.2. 极值点性质定理

  • （定理）极值点一定包含在区间内部的驻点或内部导数不存在的点之中。这些点一定在定义域内。

综合起来，我们对最值的怀疑点有了相对明确的了解：一定在端点或区间内部的驻点或者内部不可导点中。

那我们既然已经了解了最值点的性质了，为什么还要研究极值点呢？
毕竟只是闭区间上可以有这样的好性质。只要有一边是开，最值点的性质就无用武之地了。

例题略：关于闭区间上求最值的主要步骤：

  1. 求导
  2. 寻找可疑点（端点，内部两类点）
  3. 比较可疑点的值，得出答案。

2. 中值定理

重大的科学成就，无往不是站在巨人的肩膀上做出的。有些时候，还是很多人站在同一个人肩膀上……

2.1. 罗尔的思考

函数具有什么样的性质，才能使得(f‘(x)=0)有一个根？

  1. 首先要使得(f(x))上有最大最小值：(f(x)in C[a, b])
  2. 对于常值函数必成立，另外为了保证非常值函数的两个最值至少有一个不在端点处取得：(f(a)=f(b))（否则为常值函数）故而(existsxiin(a, b),s.t.f(xi)=M)为极大值。
  3. 还需要排除不可导的情况：(f(x)in D(a, b))

2.1.1. Rolle定理

若(f(x))定义在闭区间([a, b])上，

  1. (f(x)in C([a,b]),)
  2. $ f(x)in D(a, b),$
  3. $ f(a)=f(b),$
    则至少存在一点(xiin(a, b))使得(f‘(xi) = 0.)
  • 证：由(f(x)in C[a, b]，)则(f(x))在([a, b])上一定能取到最小值(m)与最大值(M)且(mleq M)：
    1. (m=M,)即(forall xin[a, b]mleq f(x)leq M = m,)故而(f(x)=m,xin[a, b].Rightarrow f‘(x)=0.forallxiin(a, b),f‘(xi)=0)
    2. (m<M，)由(f(a)=f(b),)最小值(m)与最大值(M)至少有一个在((a, b))内取到，不妨设(existsxiin(a, b),s.t.f(xi)=m)是极小值，且(f‘(xi))存在，由费马定理(f‘(xi)=0.)

2.1.2. Rolle定理的几何意义

几何意义，闭区间([a,b])上处处连续，且在((a, b))内部曲线的切线处处存在、不平行于(y)轴，而且两端点函数值相等，则在曲线内部存在一点(xi, f(xi),)在该处的切线平行于(x)轴。通俗地说，离开这条线，想要再回来肯定会回头，这个思想是拉格朗日中值定理的基础。

2.2. 拉格朗日

怎样减弱罗尔的条件限制？

  1. 连续必然保留。否则没有最大最小值。
  2. 可导。导数是研究的工具，没有导数怎样描述函数性质。
  3. 只能去掉(f(a)=f(b))那么就不一定能保证必有(f‘(xi)=0)了。但拉格朗日毕竟是拉格朗日，总能想到点新办法······

2.2.1. Lagrange的几何构造意义

去掉(f(a)=f(b))那只能自己创造这个相等咯。转换坐标系。（第35讲16min）

2.2.2. Lagrange定理

若(f(x))在闭区间([a, b])上满足下面两个条件：

  1. (f(x)in C[a, b])
  2. (f(x)in D(a, b))

则至少存在一点(xiin(a, b),s.t.f‘(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a})

证：要证存在(xiin(a, b),s.t.f‘(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a})
只要证(f‘(xi)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0)成立（把式子移到等式一边从而构造罗尔定理的条件）。
只要(利用积分)(F(x)=f(x)-frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x+C))在(x=a, x=b)处有(F(a)=F(b))，为了消解分式结构，我们最好取(C=a或C=b.)不妨取(C=a，)那么我们有(F(a)=F(b)=f(a).)
那么我们索性构造(G(x)=F(x)-f(a))由(G(x)in[a, b],G(x)in D(a, b),G(a)=0, G(b)=0,)结合Rolle定理得(existsxi,G‘(xi)=f‘(xi)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,)即(f(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}.)

2.2.3. 对拉氏构造的几何分析

如上的(G(x))就是曲线减去弦所在的直线。
拉氏定理的意义即是，开区间对应的曲线上存在(xi,s.t.f(xi)=k,)其中(k)为割线斜率。

2.3. 投机取巧的柯西

在微分中值定理的条件已经几乎无法减弱的时候，柯西将(x,y)看作参数方程，从而构造出更加一般的情形。

2.3.1. Cauchy定理

参数方程

[egin{cases} x=g(t),y=f(t). end{cases}]

确定函数(y=y(x))满足的拉氏条件，(k_{AB}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=frac{f‘(xi)}{g‘(xi)})，从而利用拉格朗日定理的形式猜结论，写证明。

定理内容：若(f(x),g(x))满足下面两个条件：

  1. (f(x), g(x)in C[a, b])
  2. (f(x), g(x)in D(a, b),g‘(x) ot=0)
    则至少存在一点(xiin(a, b))使得(frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=frac{f‘(xi)}{g‘(xi)})
    证：令(F(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}-f(a),F(x)in[a, b],F(x)in D(a, b),F(a)=F(b)=0.existsxiin(a, b),s,t,F‘(xi)=0，)而(F‘(x)=f‘(x)-frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g‘(x),)且(g(x) ot=0)故而得到(frac{f‘(xi)}{g‘(xi)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.)

2.4. 中值定理的关系

罗尔定理(xrightleftharpoons[特例]{推广})拉格朗日定理(xrightleftharpoons[特例]{推广})柯西定理

从左向右，普遍性增强。
从这个关系上说，能用罗尔、拉格朗日定理解决的问题肯定可以直接代入柯西求解，但更多地，我们会使用到前两个，因为不一定需要那么一般的结论。
能用拉格朗日、柯西定理解决的问题，一定能通过构造函数再利用罗尔定理解。这在一些故意挑事的题目里面是很常见的。

3. 洛必达与未定式的极限

3.1. 分析

(limlimits_{x o x_0}frac{f(x)}{g(x)}Big(frac{0}{0}型Big))
分析知，(x=x_0)点处至少为一个可去间断点。
(limlimits_{x o x_0}f(x)=0,limlimits_{x o x_0}g(x)=0.)
但这样的条件都局限在去心邻域之上，从而我们应该考虑补充定义：
令

[F(x)=egin{cases} f(x),&x ot=x_0, &x=x_0\end{cases} ]

[G(x)=egin{cases} g(x),&x ot=x_0,&x=x_0end{cases} ]

要求(F(x), G(x))在([x_0, x](x_0 < x))或([x, x_0])上连续，在(U_0(x_0,delta))内可导，且(G‘(x) ot=0)即(existsdelta > 0,)当(xin U_0(x_0,delta))时，(f‘(x),g‘(x))存在且(g‘(x) ot=0)
如果再有(limlimits_{x o x_0}frac{f‘(x)}{g‘(x)}=ABig/infty，)

[egin{aligned} &limlimits_{x o x_0}frac{f(x)}{g(x)}\=&limlimits_{x o x_0}frac{F(x)-0}{G(x)-0}\=&limlimits_{x o x_0}frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}\=&limlimits_{x o x_0}frac{F‘(xi)}{G‘(xi)}(mathscr{Cauchy}定理)\=&limlimits_{x o x_0}frac{f‘(xi)}{g‘(xi)}\=&limlimits_{xi o x_0}frac{f‘(xi)}{g‘(xi)}(特殊路径的趋近)=&limlimits_{x o x_0}frac{f‘(x)}{g‘(x)}=ABig/infty end{aligned}]

分析知，如果以上的条件不完全满足，仍然有可能使得特殊路径的趋近成立。

3.2. (mathscr{L‘H}hat{o}pital;frac{0}{0})

由上述的分析，我们将这个法则总结如下：
若：

  1. (limlimits_{x o x_0}f(x)=0,limlimits_{x o x_0}g(x)=0)（简洁的两者相除能作为割线（原点线）斜率，是原点处切线<第一个等号>能作为原点线极限的基础）
  2. (existsdelta > 0, xin U_0(x_0,delta))时，(f‘(x),g‘(x))存在且(g‘(x) ot=0)（还要导数除式在(x=x_0)一点连续，保证转移过程是一个趋近，其中每一步都可以是未定式，从而可以多次洛必达）
  3. (limlimits_{x o x_0}frac{f‘(x_0)}{g‘(x_0)}=ABig/infty)（保证(u‘)确实有极限，可以转移原式的结果）

则(limlimits_{x o x_0}frac{f(x)}{g(x)}=limlimits_{x o x_0}frac{f‘(x)}{g‘(x)}=ABig/infty.)

  • 注意：洛必达法则是一个充分条件。逻辑上可以假设我们找到了一对均可导但是导数剧烈震荡以至于没有比值极限的函数，但它们经由特殊路径(xi)能趋近一个值。（这一点存疑，应该不能）

补充：一个减弱版：若(f‘(x_0),g‘(x_0))均存在（这时只需要这两个函数在这一点可导），那么(limlimits_{x o x_0}frac{f(x)}{g(x)}=frac{f‘(x_0)}{g‘(x_0)}.)

上式中(x_0)为常数，(x o x_0)改成(x o x_0^-, x o x_0^+, x oinfty, x o+infty, x o-infty)将相应的条件改变，结果依然成立。

以(limlimits_{x oinfty}frac{f(x)}{g(x)}Big(frac{0}{0}Big))为例，
(limlimits_{x oinfty}frac{f(x)}{g(x)}=limlimits_{t o0}frac{f(frac{1}{t})}{g(frac{1}{t})}=limlimits_{t o0}frac{f‘(frac{1}{t})(-frac{1}{t^2})}{g‘(frac{1}{t})(-frac{1}{t^2})}=limlimits_{t o0}frac{f‘(frac{1}{t})}{g‘(frac{1}{t})}=limlimits_{x o infty}frac{f‘(x)}{g‘(x)}=ABig/infty.)

3.3. (frac{infty}{infty})型

由于我们并不知道(limlimits_{x o x_0}frac{frac{1}{g(x)}}{frac{1}{f(x)}})的值，从而不能简单地化到(frac{0}{0})型。详情见数分PDF.P204

3.4. 可以洛之后的极限求算小结

  1. 如果有幂指函数，均可归入(frac{e^{f(x)}-1}{f(x)})型。过程或繁或简。
  2. 一般方法是洛必达法则。
  3. 不要闷头洛到底，谨注意结合等价量替换、分步极限（允许乘式中的不为零的因式先取定极限值）、加减拆项等方法简化计算。
  4. 使用套娃法洛的过程当中，要时刻注意洛必达的条件是否还满足：去心邻域可导，最终导数之比有极限。
  • 对于(frac{infty}{infty})如果根式多，或者多次仍不能发现导数之比时，就不用洛必达，这一类往往可以借鉴抓大放小的思想来解决。
  • (n)阶可导函数可以洛到出现(n-1)阶导数，(n)阶连续可导函数可以洛到(n)阶导数。这个结论是洛必达法则第二个条件的必然要求。

3.5. 其他未定式极限

3.5.1. (0cdotinfty)

(limlimits_{x o0^+}x^acdotln x(a>0, 常))
(=color{#FF0000}{limlimits_{x o0^+}}x^acdotlimlimits_{x o0^+}ln x=0cdotlimlimits_{x o0^+}ln x=0?)
这是一个典型错误，不仅是对没有极限的两个部分进行拆解，还错误以为(0cdotinfty=0.)

解：原式(=limlimits_{x o0^+}frac{ln x}{x^{-a}}xlongequal{洛}limlimits_{x o0^+}frac{frac{1}{x}}{-ax^{-a-1}}=-frac{1}{a}limlimits_{x o0^+}x^a=0.)

3.5.2. (infty-infty)

直接通分，化成洛必达结构。

例 (limlimits_{x o0}ig(frac{1}{x}-frac{1}{e^x-1}ig)=limlimits_{x o0}frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}xlongequal{洛}frac{e^x-1}{2x}=frac{1}{2})

3.5.3. (1^infty)

利用(f(x) o0,)则(limlimits_{x o x_0}[1+f(x)]^{frac{1}{f(x)}}=e.)一个更好的思路是([1+f(x)]=e^{f(x)})

3.5.4. 指数型未定式

(limlimits_{x o x_0}f(x)^{g(x)}Big(1^infty,infty^0, 0^0Big))

  • 关于这几个为什么是未定式的分析：

原式(=limlimits_{x o x_0}e^{g(x)ln f(x)}=limlimits_{x o x_0}frac{ln f(x)}{frac{1}{g(x)}}),这三种未定式分别对应(frac{0}{0}, frac{infty}{infty},frac{infty}{infty})

类似的，(0^infty)不是未定式。

几个很好的例题：

  • (0^0)型：
    (limlimits_{x o0^+}(sin x)^x=e^{limlimits_{x o 0^+}xlnsin x}=e^{limlimits_{x o0^+}sin xlnsin x}=e^{limlimits_{t o 0^+}tln t}=e^0 = 1.)(利用了(limlimits_{x o0^+}xln x=0))
  • (infty^0)型
    (limlimits_{x o 0^+}(lnlnfrac{1}{x})^x=e^{limlimits_{x o0^+}xln(lnlnfrac{1}{x})}=e^{limlimits_{t o+infty}frac{lnlnln t}{t}}=e^{limlimits_{t o+infty}}frac{1}{lnln t}frac{1}{ln t}frac{1}{t}=e^0=1.)

3.6. 洛必达的一个使用误区

例 (limlimits_{x o infty}frac{x-sin x}{x+cos x}xlongequal{洛}limlimits_{x oinfty}frac{1-cos x}{1-sin x})
等号后的式子没有极限。但这并说明原式无极限，而只能说明不能用洛必达法则。

这个问题，代表了(frac{infty}{infty})不可消除的一类，应当使用抓大放小的思想

3.7. 数列极限未定式

求(limlimits_{n oinfty}f(n))（未定式），如果(limlimits_{x o+infty}f(x)=ABig/infty,)则(limlimits_{n oinfty}f(n))（未定式）(=limlimits_{x o+infty}f(x)=ABig/infty.)
但是，如果(limlimits_{x o+infty}f(x))极限不存在，那么(limlimits_{n oinfty}f(n))需要使用其他方法求解。

例 (limlimits_{n oinfty}[(1+frac{1}{n})^n-e]cdot nquad(0cdot infty))
原式(=limlimits_{x o+infty}[(1+frac{1}{x})^x-e]cdot x=limlimits_{t o0^+}frac{(1+t)^{frac{1}{t}}-e}{t}=limlimits_{t o0^+}frac{e^{frac{ln(t+1)}{t}}-e}{t}(法二)=limlimits_{t o0^+}e^{frac{ln(1+t)}{t}}cdotfrac{frac{t}{1+t}-ln(1+t)}{t^2}=elimlimits_{t o^+}frac{t-(1+t)ln(1+t)}{t^2(1+t)}=elimlimits_{t o0^+}frac{t-(1+t)ln(1+t)}{t^2}=elimlimits_{t o0^+}frac{1-ln(1+t)-1}{2t}=frac{e}{2}.)

法二：（从接口处来）原式(=limlimits_{t o0^+}ecdotfrac{e^{frac{ln(1+t)}{t}-1}-1}{t}=elimlimits_{t o0^+}frac{frac{ln(1+t)}{t}-1}{2t}=elimlimits_{t o0^+}frac{ln(1+t)-t}{t^2})然后洛必达

4. 导数的应用

4.1. 罗尔定理的应用

4.1.1. 证明方程根的存在性

证明(f(x)=0)在((a, b))内有一个根(xiLeftrightarrowexists F(x),s.t.forall xin[a, b],)都有(F‘(x)=f(x),F‘(xi)=0,)对(F(x))在([a, b])上应用罗尔定理(existsxiin(a, b),s.t.F‘(xi)=0,)即(f(xi)=0.)

设任意(a_1, a_2,cdots a_n)均为实常数。求证(a_1cos x+a_2cos2x + cdots + a_ncos nx=0)在((0, pi))内至少有一个根。

证：设(f(x)=a_1cos x+a_2cos2x + cdots+a_ncos nx,)由(f(x)in C[0, pi],f(0)=a_1+a_2+cdots+a_n,)(x=pi)时加加减减，情况类似，得不到具体的正负性。由((frac{1}{n}sin nx)‘=cos nx,)我们可以构造函数(F(x)=a_1sin x+frac{1}{2}a_2sin2x+cdots+frac{1}{n}a_nsin nx.)分析知(F(x))满足罗尔定理的条件，更重要的(F(0)=F(pi),)故而(existsxiin(a, b),s.t.F‘(xi)=f(xi)=0quad■)

4.1.2. 用于证明含有(xi)的等式

尤其是含有(xi)处的导数(Leftrightarrow)对函数(F(x))使用罗尔定理得到(F‘(xi)=0)

4.2. 拉格朗日定理应用

4.2.1. 拉格朗日定理的几种形式

(existsxiin(a, b),frac{f(b)-f(a)}{b-a}Leftrightarrow f(b)-f(a)=f‘(xi)(b-a)（1）)(建立了函数和导数的关系)
而当(b<a)时，只要(f(x))在([b, a])上满足拉氏条件，则((1))式仍然成立，对(f(x))在([b, a])上用拉氏定理(f(a)-f(b)=f‘(xi)(a-b),b<xi<a，)变形后仍有(f(b)-f(a)=f‘(xi)(b-a)。)故不论(a, b)的大小关系，只要(f(x))满足拉氏条件，便有：

[f(b)-f(a)=f‘(xi)(b-a) ]

其中(xi)介于(a, b)之间。
不论(a>b||a<b,0<frac{|xi-a|}{|x-a|}<1)或者写作(0<ig|frac{xi-a}{b-a}ig|<1(0< heta<1)Leftrightarrow0<frac{xi-a}{b-a}<1,)令( heta=frac{xi-a}{b-a})那么(xi)可以记作(a+ heta(b-a),)即有:

[f(b)-f(a)=f‘(a+ heta(b-a))(b-a) ]

进一步可以改写成：

[f(x_0+Delta x)-f(x_0)=f(x_0+ hetaDelta x)Delta x ]

4.2.2. 拉氏定理的应用

4.2.2.1. 单调性定理：

设(f(x))在闭区间([a,b])上连续，在((a, b))可导。

  • 当(xin(a, b),f‘(x)geq0(f‘(x)>0))则称(f(x))在((a, b))上单调递增（严格单调递增）
  • 当(xin(a,b),f‘(x)leq 0(f‘(x)<0))则(f(x))在((a, b))上递减递减（严格单调递减）。
  • 当(xin(a,b),f‘(x)equiv0)，则(f(x))在((a,b))上是常值函数。

证：(forall x_1, x_2in(a,b))且(x_1,<x_2)，由(f(x))在([x_1,x_2])上满足拉氏条件。(existsxiin(x_1,x_2),s.t.f(x_2)-f(x_1)=f‘(xi)(x_2-x_1))
(xin(a,b),f‘(x)geq0, xiin(a, b)f‘(xi)geq0,x_2-x_1>0Rightarrow f(x_2)-f(x_1)geq0Rightarrow f(x_1)leq f(x_2))，知(f(x))在((a,b))上是递增函数。同理可证第二条。
对于第三条(xin(a,b),f‘(x)=0Rightarrow f‘(xi)=0Rightarrow f‘(xi)(x_2-x_1)=0Rightarrow f(x_2)-f(x_1)=0Rightarrow f(x_2)=f(x_1))即(f(x))是((a,b))上的常值函数

4.2.2.2. 证明不等式

例 设(b>ageq e)，证明(a^b>b^a.)
证：要证(a^b>b^a)成立，只要证(ln a^b >ln b^a)成立，只要证(bln a>aln b)成立，只要证(frac{ln a}{a}>frac{ln b}{b}（1）)
可以构造函数求导利用单调性定理，也可以使用拉格朗日中值定理说明

  1. 设(f(x)=frac{ln x}{x},xin[a,b])，由于(f(x)in C[a,b],f(x)in D(a,b),f‘(x)=frac{1-ln x}{x^2}<0,)得知(f(a)>f(b))，即(frac{ln a}{a} >frac{ln b}{b}（1）)成立。故而得证
  2. （利用拉格朗日中值定理）(frac{ln b}{b}-frac{ln a}{a}=f(b)-f(a)=f‘(xi)(b-a)<0)，经过比较，拉格朗日定理虽然可以解决问题，但实际在可以直接写出答案的基础上再增加了一次变形，这是没有必要的。这也是因为单调性定理本来是拉格朗日定理的推论，从而其具有一定的黑盒性。

4.2.2.3. 极值的判断

由极值点一定包含在区间内部的驻点或不可导点中
(1^。)判断取到极值的第一充分条件：
若(f(x))在(U(x_0,delta))内连续，在(U_0(x_0, delta))内可导（强调(f(x))在(x_0)处连续，这是拉格朗日定理的必然要求）从而包括了极值点和尖点的两种情况。

但要注意的是，极值本身是不需要在点处连续的，例如可去间断点（甚至左右极限不相等都可以）所以说，这个条件是充分的

  1. 当(xin(x_0-delta,x_0))时，(f‘(x)>0)，当(xin(x_0, x_0+delta))，有(f‘(x)<0)，则(f(x_0))为极大值。
  2. 当(xin(x_0-delta,x_0))时，(f‘(x)<0)，当(xin(x_0,x_0+delta))时，(f‘(x)>0)，则(f(x_0))为极小值。
  3. 若(f‘(x))在(x_0)两侧同号，则(f(x_0))不是极值。

(2^。)判断取到极值的第二充分条件
若(f‘(x_0)=0)，且(f‘‘(x_0))存在：

  1. (f‘‘(x_0)>0)，则(f(x_0))为极小值
  2. (f‘‘(x_0)<0)，则(f(x_0))为极大值
  3. (f‘‘(x_0)=0,)无法判断

拓展：若(f‘‘(x_0))存在，隐含在(U(x_0))内(f‘(x))存在，则(f(x))当(xin U(x_0))必然连续

简要证明((1))当(f‘‘(x_0)>0,f‘‘(x_0)=limlimits_{x o x_)}frac{f‘(x)-f‘(x_0)}{x-x_0}=limlimits_{x o x_0}frac{f‘(x)}{x-x_0}=f‘‘(x_0)>0)，由保号性，(existsdelta>0)，当(xin U_0(x_0,delta))时(frac{f‘(x)}{x-x_0}>0)，当(xin(x_0-delta,x_0),f‘(x)<0)，当(xin(x_0,x_0+delta),f‘(x)>0)，由(（1）)知(f(x_0))为极小值

4.2.2.4. 求函数单调区间与极值的步骤

  1. 求出函数的定义域
  2. 求出内部的驻点或倒数不存在的点
  3. 列表，利用第一充分条件总结结果

4.3. 数学建模初步

微积分的初步应用问题

4.3.1. 求一元函数的最大值和最小值

  1. （第一充分条件）若(xin[a,b],f‘(x)geq 0,f(x) earrow)，则(m=f(a),M=f(b))
    若(xin[a,b],f‘(x)leq 0,f(x)searrow)则(m=f(b),M=f(a).)
  2. （闭区间上连续函数极最值存在定理）若(f(x)in C[a,b])，则(f(x))的极大极小值点一定包含在内部的驻点或者内部不可导点中。最值的考虑点集是极值的考虑点集的超集。
  3. （唯一极值定理）若(f(x))在（开/闭）区间(I)上连续，且(f(x))在(I)上取到唯一的极值(f(x_0))
    1. 若(f(x_0))为极大值，则(f(x_0))为最大值，且在(x_0)左侧严格增，在(x_0)右侧严格减。
    2. 若(f(x_0))为极小值，则(f(x_0))为最小值，且在(x_0)的左侧严格减，右侧严格增

这个极值唯一的条件实在太强了，不容易达到。更多地我们使用连续函数的极值存在定理会更好。

5. 泰勒公式

5.1. 引入

例 (f(x)=e^x)，求(f(3.15)?)

目的是近似求解超越函数的符合误差的解。
理论基础：多项式相关计算的便利性。

由拉氏定理，若(f(x))在([a,b])上满足拉氏条件，则(f(b)-f(a)=f‘(xi)(b-a)Rightarrow f(b)=f(a)+f‘(xi)(b-a))，令(b=x,a=x_0,x ot= x_0)且(f‘(x))存在，得(f(x)=f(x_0)+f‘(xi)(x-x_0),xi)介于(x_0,x)之间。
若(f‘‘(x))存在，我们猜想地将原函数值表示称一个多项式的组合：(f(x)=f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+mathscr{K}(x-x_0)^2)，其中(mathscr{K}=frac{f(x)-[f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)]}{(x-x_0)^2})
或者我们通过线性函数的类推来得到猜想：对于一阶，如果(f(x)=a_0+a_1(x-x_0),f‘(x)=a_1,f(x_0)=a_0,f‘(x_0)=a_1)，则(f(x)=f(x_0)+f‘(x-x_0))，那么对于一个更高阶的函数，我们可以将其表示称一个线性函数(f(x)=f(x_0)+f‘(x-x_0))和一个高阶小量的和，从而构造(frac{f(x)-[f(x_0)+f‘(x-x_0)]}{(x-x_0)^2}=mathscr{K})

现在我们来研究这个(mathscr{K})的值到底是多少。
令(F(x)=f(x)-[f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)],G(x)=(x-x_0)^2,)
(F‘(x)=f‘(x)-f‘(x_0),F‘‘(x)=f‘‘(x),F(x_0)=0, F‘(x_0)=0;)
(G‘(x)=2(x-x_0),G‘‘(x)=2!,G(x_0)=0,G‘(x_0)=0.)
(mathscr{K}frac{F(x)}{G(x)}=frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=frac{F‘(xi_1)}{G‘(xi_1)}=frac{F‘(xi_1)-F‘(x_0)}{G‘(xi_1)-G‘(x_0)}=frac{F‘‘(xi)}{G‘‘(xi)}=frac{f‘‘(xi)}{2!})

5.2. 定理描述

设(f^{(n)})在区间(I)上连续(对应拉氏的闭区间连续)，在(I)内部(f^{(n+1)})存在（开区间可导），<如果求皮亚诺余项只需要(x_0)处(n)阶可导>取(x_0in I,forall xin I,s.t.x ot= x_0)，则(f(x)=f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+frac{f‘‘(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+cdots+frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n+frac{f^{(n+1)(xi)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1})称为(f(x))在(x_0)处的(n)阶泰勒公式
有时条件可以加强一些，改为在(I)上(f^{(n+1)}(x))存在。
称(f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+frac{f‘‘(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+cdots+frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nxlongequal{mathrm{def}}P_n(x))称为(n)次泰勒多项式，称(frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}xlongequal{mathrm{def}}R_n(x))称为拉格朗日余项。(xi)介于(x_0, x)之间，(xi=x_0+ heta(x-x_0), 0< heta<1,R_n(x)=frac{f^{(n+1)}(x+ heta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1})称为柯西余项，如果(f(x)approx P_n(x))，误差(|f(x)-P_n(x)|=|R_n(x)|=|frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}|=frac{|f^{(n+1)}(xi)|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1})若(|f^{(n)}(x)|leq M(常),n = 0, 1, 2cdots)，原式(leq Mcdotfrac{|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!})，由重要极限可得误差当(n oinfty)时误差极小。

特别地，若(0in I,)取(x_0 = 0)，此时泰勒公式为(f(x)=f(0) +f‘(0)x+frac{f‘‘(0)}{2!}+cdots+frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n +frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}x^{n+1})称为(f(x))在(x=0)处的Maclaurin公式。

(R_n(x)=frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!})是麦克劳林公式的拉格朗日余项。

5.3. 五个函数的麦克劳林展开式

[egin{aligned} e^x&=1+x + frac{x^2}{2!}+cdots+frac{x^n}{n!}+frac{e^{xi}}{(n+1)}x^{n+1}\sin x&=x-frac{x^3}{x!}+frac{x^5}{5!}+cdots+frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}+frac{f^{(2k+2)}(xi)}{(2k+2)!}x^{2k+2}\cos x&=1-frac{x^2}{2}+frac{x^4}{4!}+cdots+frac{(-1)^{k}}{2k!}+frac{f^{(2k+1)}(xi)}{(2k+1)!}x^{2k+1}\ln x&=x-x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}+cdots+frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}x^n+R_n(x), xin(-1, +infty)(1+x)^{a}&=sum_{i=0}^{n}mathrm C_n^i,x^i end{aligned}]

说明：

  1. (sin x)的展开式的余项可以展开到(x^{2k+1})项，毕竟式子只展开到这一项；但由我们先前得到的重要极限，展开项数越多，误差越趋近(0)，所以从增加精确度的角度，我们完全可以展开到(2k+2)项从而对应表达式中的拉格朗日余项为(2k+3)次（反正(2k+2)项不在这，你管我??）
  2. (待补充)为什么(ln(1+x))的展开式要限制定义域

5.4. 泰勒公式的应用

5.4.1. 在数值分析中的应用

例 证明(e)是无理数（wsj.pdf220.ex5.3.14）

例 近似计算(e)的值（误差小于(10^{-6})）
(|frac{e^{xi}}{(n+1)!}|=frac{e^xi}{(n+1)!}<frac{e}{(n+1)!}leqfrac{3}{(n+1)!}leq 10^{-6})
对分式，计算到第九位，合并后取八位，四舍五入到六位就会准确。

5.4.2. 证明不等式

例 (f‘‘(x)>0,)且(limlimits_{x o0}frac{f(x)}{x}=1)，证明(f(x)geq x)
证：由(limlimits_{x o0}frac{f(x)}{x}=1)且(limlimits_{x o0}x=0Rightarrow limlimits_{x o0}f(x)=0=f(0))
(limlimits_{x o0}frac{f(x)}{x}=limlimits_{x o0}frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1Rightarrow f‘(0)=1)
(f(x)=f(0)+f‘(0)x+frac{f‘‘(xi)}{2!}x^2geq x+frac{f‘‘(xi)}{2!}x^2geq x)

引理：若(limlimits_{x o x_0}frac{f(x)}{g(x)}=C ot=0,limlimits_{x o x_0}f(x)=0,)则(limlimits_{x o x_0}g(x)=0)，当(C)可能为零时，只能反向推(limlimits_{x o0}g(x)=0Rightarrowlimlimits_{x o0}f(x)=0)

5.4.3. 证明含有(xi)的等式

尤其是含有(xi)处的高阶导数的问题

例 (f(x))在([a, b])上(n)阶可导且(f(a)=0, f^{(k)}(b)=0,k=0, 1, 2,cdots, n-1)，则至少存在一点(xin(a, b),s.t. f^{(n)}(xi)=0)（(n)阶泰勒展开）

5.5. 带Peano的Taylor公式

分析：Taylor公式的两种余项表达形式(R_n(x)=frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1})要么太抽象，要么太繁琐，有没有一种折中的思路既能简单地写出来，同时又能保证一定的信息量？
(limlimits_{x o x_0}frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n}}=limlimits_{x o x_0}frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)=0)，从而(R_n(x)=o[(x-x_0)^n](x o x_0).)

(Peano)定理：
若(f(x))在(x_0)处(n)阶可导， 则(f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+frac{f‘‘(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+cdots+frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n](x o x_0))
特别的，(x_0=0)，则(f(x)=f(0)+f‘(0)x+frac{f‘‘(0)}{2!}x^2+cdots+frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n(x o0))称为带有Peano余项的Maclaurin公式

  • 类似先前得到的结果，我们可以写出带Peano余项的五个基本公式
  • 利用带有Peano余项的Maclaurin公式可以用于求(limlimits_{x o0}frac{f(x)}{g(x)}(frac{0}{0}))

5.5.1. Peano余项Mac公式应用

(f(x)=0+0cdot x+cdots+0cdot x^{k-1}+Acdot x^{k}+o(x^k)(x o0)=Acdot x^k+o(x^k)sim Ax^k(x o0))，同理写出(g(x)sim Bx^m)，借助抓大放小的思想得解。

展开原则：

  1. 加减幂次最低(展到第一项不为零的项)
  2. 相除上下同阶

例 (x-sin x)当(x o0)是(x)的几阶无穷小？
用原则一：(x-sin x=x-(x-frac{x^3}{3!}+o(x^3))=frac{1}{6}x^3+o(x^3)(x o0))从而是3阶无穷小
用原则二：待定系数（用一次洛必达）(limlimits_{x o0}frac{x-sin x}{x^k}=limlimits_{x o0}frac{1-cos x}{kx^{k-1}}=limlimits_{x o0}frac{frac{1}{2}x^2}{kx^{k-1}}Rightarrow k-1 = 2)

5.5.2. 两种泰勒公式的比较

  • 条件必然不同，皮亚诺余项仅要求(x=x_0)处(n)阶可导，拉格朗日余项要求(x_0)的邻域(n+1)阶可导
  • 使用：
    • Peano余项更局部，适合条件较弱的情形，用于解决极限与极值问题。
    • Lag余项可以称作区间泰勒，用于解决最值与不等式证明。

补充：使用时，哪一点处信息多就从那一点展开

6. 曲线作图

6.1. 函数的凹凸性与拐点

6.1.1. 凹凸性

  1. 与切线的位置关系
    • 若(xin(a, b))时，函数段都在曲线上任意一点切线的上方，则称，曲线(y=f(x))在((a, b))内是凹的。
  2. 与割线的位置关系
    • (forall xin(x_1, x_2), x=lambda x_1+(1-lambda)x_2(0<lambda<1), lambda f(x_1)+(1-lambda)f(x_2)geq f[lambda x_1+(1-lambda)x_2])
  3. 若(f(x))在((a, b))内二阶可导，
    1. 当(f‘‘(x)>0)，则曲线在((a,b))内是凹的。
    2. 当(f‘‘(x)<0)，则曲线在((a,b))内是凸的。

利用泰勒公式，我们可以由3.1推1：
(f(x)=f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+frac{f‘‘(xi)}{2}(x-x_0)^2>f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0))，不等式左侧是函数曲线，右侧是切线，从而证明是凹的。

6.1.2. 拐点

曲线(y=f(x))上凹凸的分界点(mathbf{(x_0, f(x_0))})称为曲线的拐点。

  • 这个拐点一定在区间内部。
  • (f(x))在(x_0)处有定义。

定理：若(f‘‘(x_0)=0)，且(f‘‘‘(x_0) ot=0)，则((x_0, f(x_0)))是曲线的拐点。
由(f‘‘‘(x_0) ot=0,)不妨设(f‘‘‘(x_0)>0,limlimits_{x o x_0}frac{f‘‘(x)-f‘‘(x_0)}{x-x_0}=limlimits_{x o x_0}frac{f‘‘(x)}{x-x_0}=f‘‘‘(x_0)>0)，由保号性，(existsdelta>0,)当(xin U_0(x_0, delta))时，(frac{f‘‘(x_0)}{x-x_0}>0,xin(x_0-delta, x_0), x-x_0<0Rightarrow f‘‘(x)<0xin(x_0, x_0+delta))时，(x-x_0<0Rightarrow f‘‘(x)>0, herefore (x_0,f(x_0)))为拐点

从而利用这个定理，求拐点的步骤划归入(f‘(x))的极值问题。
只要把极值求算的“一个必要，两个充分”抬高一阶就可以

  • 注意一个不同点：拐点可以不用一阶导函数连续。只需原函数在点处连续即可。

6.2. 渐近线

把例如(frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1)的函数无穷远处的图形画出来：没有画出，胜似画出（甚至还知道趋势）

定义：设(y=f(x))是一个给定的曲线，(ell)是一个给定的直线，若曲线上(P(x, f(x)))到直线(ell)的距离，当(P)无限远离原点时，该距离的极限为0，称直线是曲线(y=f(x))的渐近线，若(ell parallel y)轴，称(ell)为曲线(y=f(x))的斜渐近线。
可以设(ell:y=ax+b)
若(ell)是曲线(y=f(x))的斜渐近线(Leftrightarrowlimlimits_{Delta |OP| o0}|PQ|=0Leftrightarrowlimlimits_{x oinfty}frac{|f(x)-ax-b|}{sqrt{1+a^2}}=0Leftrightarrowlimlimits_{x oinfty}[f(x)-ax-b]=0Rightarrowlimlimits_{x oinfty}frac{1}{x}[f(x)-ax-b]=0Rightarrowlimlimits_{x oinfty}[frac{f(x)}{x}-a-frac{b}{x}])即:

[egin{aligned} a&=limlimits_{x oinfty}frac{f(x)}{x}&=limlimits_{x oinfty}[f(x)-ax]\end{aligned}]

  • 相当于逐个击破的思路。
  • 注意这里的(infty)没有考虑符号，实际上，正负极限的渐近线可能不同，研究过程当中尽量先考虑正负无穷极限相同的情况即按照：先(infty)，后(pminfty)，如果再均不存在，无斜渐近线。
  • 一个函数最多有两条斜渐近线
  • 特别地，斜渐近线(y=ax+b)中的(a=0)称(ell:y=b)为水平渐近线。同样，正负无穷对应的水平渐近线可能不同
  • 当渐近线(ellparallel y)轴，称(ell)为垂直渐近线，只要(x o x_0,x o x_0^+, x o x_0^-)一种情况下有(lim|PQ|=0)即可。
    • 对垂直渐近线，初等函数的间断点，分段函数的分界点是怀疑点。
  • 一个有利的观点：将函数式表达为(ax+b+alpha(x))，其中(limlimits_{x opminfty}alpha(x)=0)，分别找正负无穷时的渐近线：斜渐近线+水平渐近线最多共2条。然后再寻找垂直也来得及嗯··· ···

6.3. 函数作图的步骤

  1. 求出函数的定义域
  2. 研究函数的有界性、奇偶性和周期性
  3. 解方程(f‘(x)=0)，列表确定函数升降区间和极值点
    解方程(f‘‘(x)=0)，列表确定函数的凹凸区间和拐点
  4. 求出函数的斜渐近线和垂直渐近线
  5. 计算一些重要点的函数值，坐标轴交点、极值点、拐点
  • 不在函数定义域的点，不是极值点、拐点。

6.4. 曲率

通过分析，我们感受到，对一定的弧度，弧长越大，曲率越小；对一定的弧长，弧度越大，曲率越大。
从而我们可以定义平均曲率：

[mathcal{k}=limlimits_{{widehat{AQ}} o Aatop s o0}frac{ heta}{s} ]

若曲线(Gamma:egin{cases}x=x(t)\y=x(t)end{cases},alphaleq tleqeta)，(A(x(t),y(t)))，取(Qig(x(t+Delta t),y(t+Delta t)ig),widehat{AQ} o Aiff Q o Axleftrightarrow{x(t),y(t)连续}, an alpha=frac{y‘(t)}{x‘(t)},alpha = arctanfrac{y‘(t)}{x‘(t)}Rightarrow heta =Big|alpha(t+Delta x)-alpha(t)Big|=|Deltaalpha|)
此处我们求解弧长的一阶导数要应用到定积分的内容，从而暂时略去：(s‘(t)=sqrt{x‘^2+y‘^2})，而弧度(alpha‘(t)=Big(arctanfrac{y‘(t)}{x‘(t)}Big)‘=frac{x‘y‘‘-x‘‘y‘}{x‘^2+y‘^2})(这里相当于条件再次加码：二阶可导？)
由于曲率为正值，故(k=frac{|x‘y‘‘-x‘‘y‘|}{(x‘^2+y‘^2)^{frac{3}{2}}})

  • 一般的曲线(y=f(x))可以表示成(egin{cases}x=x\y=f(x)end{cases})，从而也可以代公式。

例 (egin{cases}x=acos heta, \y=bsin hetaend{cases})其中(0leq hetaleq2pi, 0<bleq a)求( heta)处的曲率。

[egin{aligned} k=&frac{|-asin heta(-b)sin heta-(-acos heta )bcos heta|}{(a^2sin^2 heta+b^2cos^2 heta)^{frac{3}{2}}}\=&frac{ab}{[b^2+(a^2-b^2)sin^2 heta]^{frac{3}{2}}} end{aligned}]

分析知，( heta=frac{pi}{2}Big/frac{3pi}{2})时曲率最小，( heta =0Big/pi)时曲率最大。


































































以上是关于Part 3 中值定理与导数应用的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

高数-微分中值定理与导数的应用

：微分中值定理：第二节：导数应用

[从头学数学] 第230节 微分中值定理与导数的应用

高等数学基础进阶微分中值定理及导数应用

高等数学笔记

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