线性基

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了线性基相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

定义:

??线性基是向量空间的一组基,通常可以解决有关异或的一些题目。是一个数的集合,并且每个序列都拥有至少一个线性基,取线性基中若干个数异或起来可以得到原序列中的任何一个数

  • 线性基的值域与原数组的值域相同,此处的值域是指任意数异或所能得到的值。

性质:

1.原序列里面的任意一个数都可以由线性基里面的一些数异或得到;
2.线性基里面的任意一些数异或起来都不能得到 (0)
3.线性基里面的数的个数唯一,并且在保持性质 (1) 的前提下,数的个数是最少的;

线性基的构造:

比如一列数:(2,9,10,17)(d[i]) 表示线性基中的元素,即二进制表示中最高位为第 (i) 位的数,唯一。
各自二进制表示为:
(2 o 00010)
(9 o 01001)
(10 o 01010)
(17 o 10001)
即:
[ left[ egin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 &1 end{matrix} ight] ]
我们从二进制位的最高位开始:
(4) 位:
只有 (17) 一个,把 (17) 加入线性基中;
(3) 位:
先找到 (10) ,将其加入,然后有发现了 (9),因为 (d[3]) 是唯一的,所以不能将 (9) 加入。但是我们可以将 (9)(9igotimes 10=3) 来表示,这样当我们需要 (9) 时,可以用 (3igotimes 10) 得到。
这样原矩阵就变成:
[ left[ egin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 &1 end{matrix} ight] ]

(2) 位:
全部为 (0),跳过。
(1) 位:
先发现 (3) ,加入。所以 (2) 不能直接加入,同样变换为 (2igotimes 3=1)
(0) 位:
只有 (1),加入。
所以
[d=left[ egin{matrix} 17 & 10 & 0 & 3 &1 end{matrix} ight] ]
完成改造。
代码实现:

void insert(long long x) {
  for (int i = 66; i>=0; i--) {
    if (!(x >> i))  // x的第i位是0
      continue;
    if (!d[i]) {
      d[i] = x;
      break;
    }
    x ^= d[i];
  }
}

性质证明:

性质1:
其实改造过程就可以证明。
如果把一个数插入,那么这个数肯定能被表示;
如果不插入,那么这个数一定会用其他数异或后插入。
如果 (x) 不能成功插入线性基,一定是因为当前线性基里面的一些数异或起来可以等于 (x)
性质2:
由性质1。
性质3:
见参考博客1。

实际应用:

1.求最大值:

参考博客1
参考博客2

以上是关于线性基的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

bzoj 4269 再见Xor 线性基

Codeforces 1100F(线性基+贪心)

线性基 刷题记录

P3857 [TJOI2008]彩灯(线性基)

线性基讲解

线性基入门