时间复杂度与空间复杂度

Posted 2020-11-26 fengkun

1.算法效率：

对于一个程序而言，我们通常关注两个点，第一点是运行的快慢，即单位时间能做多少事，第二点是消耗多少内存空间。我们编写程序就关注决定这两点的算法效率。

算法效率分析分为两种：时间效率和空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率 被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要 的额外空间。

2.时间复杂度：

时间复杂度知识结构：

 

时间复杂度的定义：算法的时间复杂度是一个函数，定量描述算法的运行时间。一算法执行所耗费的时间，只有把程序运行起来才能知道。但是我们每个算法都上机测试很麻烦，而且有些时候想要在设计阶段控制时间复杂度，需要预测时间复杂度。所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，使用大O的渐进表示法。
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

//双层for循环时间复杂度   
void func(int n)
{
    printf("test
"); //执行一次
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        printf("test
"); //执行n次
        for (int j = 0; j < n; ++j)
        {
            printf("test
"); //执行n^2次
        }
    }

}   //   复杂度 ： F(N)=1+N+N^2
   //    化为O表示法 ：根据表达式，取最高次数项  N^2  
   //                  结果为 ，O(N^2) 

如果表达式中都是常数，那么时间复杂度为O(1)。

3.空间复杂：

 

 空间复杂度是对算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少 bytes的空间，空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

//冒泡排序空间复杂度：O(1)
void bublleSort(int arr[], int n)
{
    for (int j = 0; j < n; ++j)
    {
        int flag = 0;
        for (int i = 0; i < n -j-1; ++i)
        {
            if (arr[i] > arr[i + 1])
            {
                int tmp = arr[i];   //如果发生交换使用这里的空间，为常数个
                arr[i] = arr[i + 1]; // 常数复杂度都化为  O(1)
                arr[i + 1] = tmp;
                flag = 1;
            }
        }
        if (0 == flag)
            break;
    }
}

//递归函数，每次递归使用的空间时常量，递归深度为N，空间复杂度就是 O(N)
int Fib(int n){     
    if (n <= 2)
        return 1;
    return (Fib(n - 1) + Fib(n - 2));
}

 

本文是关于时间复杂度和空间复杂度的粗略介绍，结合场景用O表示法推算即可得出复杂度。