机器学习逻辑回归算法推导

Posted 2020-11-26 liunaiming

1.引自https://www.cnblogs.com/bnuvincent/p/9695666.html

2. 基本原理

Logistic Regression和Linear Regression的原理是相似的，按照我自己的理解，可以简单的描述为这样的过程：

（1）找一个合适的预测函数（Andrew Ng的公开课中称为hypothesis），一般表示为h函数，该函数就是我们需要找的分类函数，它用来预测输入数据的判断结果。这个过程时非常关键的，需要对数据有一定的了解或分析，知道或者猜测预测函数的“大概”形式，比如是线性函数还是非线性函数。

（2）构造一个Cost函数（损失函数），该函数表示预测的输出（h）与训练数据类别（y）之间的偏差，可以是二者之间的差（h-y）或者是其他的形式。综合考虑所有训练数据的“损失”，将Cost求和或者求平均，记为J(θ)函数，表示所有训练数据预测值与实际类别的偏差。

（3）显然，J(θ)函数的值越小表示预测函数越准确（即h函数越准确），所以这一步需要做的是找到J(θ)函数的最小值。找函数的最小值有不同的方法，Logistic Regression实现时有的是梯度下降法（Gradient Descent）。

 

3. 具体过程

3.1  构造预测函数

Logistic Regression虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，用于两分类问题（即输出只有两种）。根据第二章中的步骤，需要先找到一个预测函数（h），显然，该函数的输出必须是两个值（分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：

          

对应的函数图像是一个取值在0和1之间的S型曲线（图1）。

 

图1

接下来需要确定数据划分的边界类型，对于图2和图3中的两种数据分布，显然图2需要一个线性的边界，而图3需要一个非线性的边界。接下来我们只讨论线性边界的情况。

 

图2

 

图3

对于线性边界的情况，边界形式如下：

构造预测函数为：

hθ(x)函数的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：

 

3.2  构造Cost函数

Andrew Ng在课程中直接给出了Cost函数及J(θ)函数如式（5）和（6），但是并没有给出具体的解释，只是说明了这个函数来衡量h函数预测的好坏是合理的。

实际上这里的Cost函数和J(θ)函数是基于最大似然估计推导得到的。下面详细说明推导的过程。（4）式综合起来可以写成：

取似然函数为：

对数似然函数为：

最大似然估计就是要求得使l(θ)取最大值时的θ，其实这里可以使用梯度上升法求解，求得的θ就是要求的最佳参数。但是，在Andrew Ng的课程中将J(θ)取为（6）式，即：

因为乘了一个负的系数-1/m，所以J(θ)取最小值时的θ为要求的最佳参数。

 

3.3  梯度下降法求J(θ)的最小值

求J(θ)的最小值可以使用梯度下降法，根据梯度下降法可得θ的更新过程：

    

式中为α学习步长，下面来求偏导：

上式求解过程中用到如下的公式：

因此，（11）式的更新过程可以写成：

 

因为式中α本来为一常量，所以1/m一般将省略，所以最终的θ更新过程为：

另外，补充一下，3.2节中提到求得l(θ)取最大值时的θ也是一样的，用梯度上升法求（9）式的最大值，可得：

  

观察上式发现跟（14）是一样的，所以，采用梯度上升发和梯度下降法是完全一样的，这也是《机器学习实战》中采用梯度上升法的原因。

 

3.4  梯度下降过程向量化

关于θ更新过程的vectorization，Andrew Ng的课程中只是一带而过，没有具体的讲解。

《机器学习实战》连Cost函数及求梯度等都没有说明，所以更不可能说明vectorization了。但是，其中给出的实现代码确是实现了vectorization的，图4所示代码的32行中weights（也就是θ）的更新只用了一行代码，直接通过矩阵或者向量计算更新，没有用for循环，说明确实实现了vectorization，具体代码下一章分析。

文献[3]中也提到了vectorization，但是也是比较粗略，很简单的给出vectorization的结果为：

    

且不论该更新公式正确与否，这里的Σ(...)是一个求和的过程，显然需要一个for语句循环m次，所以根本没有完全的实现vectorization，不像《机器学习实战》的代码中一条语句就可以完成θ的更新。

下面说明一下我理解《机器学习实战》中代码实现的vectorization过程。

约定训练数据的矩阵形式如下，x的每一行为一条训练样本，而每一列为不同的特称取值：

约定待求的参数θ的矩阵形式为：

          

先求x.θ并记为A：

求hθ(x)-y并记为E：

 

g(A)的参数A为一列向量，所以实现g函数时要支持列向量作为参数，并返回列向量。由上式可知hθ(x)-y可以由g(A)-y一次计算求得。

再来看一下（15）式的θ更新过程，当j=0时：

同样的可以写出θj，

综合起来就是：

综上所述，vectorization后θ更新的步骤如下：

（1）求A=x.θ；

（2）求E=g(A)-y；

（3）求θ:=θ-α.x‘.E,x‘表示矩阵x的转置。

也可以综合起来写成：

前面已经提到过：1/m是可以省略的。