斐波那契数列Fibonacci问题

Posted 2020-11-26 evenleee

斐波那契数列定义

Fibonacci array：1,1,2,3,5,8,13,21,34，...

在数学上，斐波那契数列是以递归的方法来定义：

• F(0) = 0
• F(1) = 1
• F(n) = F(n-1) + F(n-2)

用文字描述，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契系数就是由之前的两数之和想加而得，首几个斐波那契数列系数是：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，...特别指出：0不是第一项，而是第零项。

递归解法

最容易想到的解法是按照公式的递归解法，具体实现如下：

int fib(int n) {
    if (n < 2) return n;
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

但其实该递归解法会重复两次计算 fib(n-2) 项，时间数量级远远超过 n，是指数级别的增长，时间复杂度很高，如下图所示，更因递归调用占用大量的堆栈空间，对程序而言是一种灾难。所以该种解法如果在面试中肯定是不能让面试官满意的。

 

 顺序求和法

按照公式定义前开始的两项 a 和 b 为 0 和 1。后一项 c 是前两项之和，并且 a 和 b重新赋值，动态向右移动，时间复杂度为 O(n)。这种解法非常优秀！

int fib(int n)
{
    if (n < 2) return n;
    int a = 0;
    int b = 1;
    int c = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return c;
}