Burnside引理与Polya定理

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Burnside引理与Polya定理相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

置换 $f =
egin{bmatrix}
1 & 2 & …… & i &…… & n
a_1 & a_2 & …… & a_i & …… & a_n
end{bmatrix}
$

简单来说就是对元素进行重排列。$1 ightarrow a_1 $, (2 ightarrow a_2),(i ightarrow a_i) ……,(n ightarrow a_n)

  1. 置换可以分解成若干循环
  2. 如果一个状态经过置换 (f) 后跟原来相同,称为不动点 ,即 (s[1] = s[a_1],s[2] = s[a_2],……,s[i] = s[a_i],……,s[n] = s[a_n])
  3. 本质不同的方案数 ,一般是指等价类的数目。等价关系通常是一个置换集合 (F) ,满足等价关系的元素属于同一等价类.如果一个置换能把其中一个方案映射到另一个方案,则二者是等价的。

(Burnside) 引理

对于一个置换 (f) ,若一个染色方案 (s) 经过置换后不变,称 (s)(f) 的不动点。将 (f) 的不动点数目记为 (C(f)) ,则可以证明等价类数目为所有 (C(f)) 的平均值,即本质不同的方案数。

[ l = frac{1}{|G|}[c_1(a_1) + c_2(a_2) + …… + c_i(g_i) + …… + c_n(g_n)] ]

其中,(|G|) 代表置换个数。

(burnside) 是一种计数方法,用来计算含有不等价类的数量,其键是找好 置换群

(Polya) 定理

利用 (Burnside) 引理要首先列出所有(n^m) 种可能的染色方案,然后找出在每个置换下保持不变的方案数。显然当 (m)(n) 很大的时候,这个方法会非常繁琐, 这时就需要用到 (polya) 定理。

(Polya) 定理:记置换 (G={a_1,...,a_k}) ,在 ([1,m]^n) 上,不同的向量数目为

[L=frac{Sigma ^k_{i=1}m^{l(ai)})}{|G|}]

其中 (l(ai)) 表示置换 (a_i) 可以展开为循环的节数, (G) 中不含重复的置换。

参考链接

以上是关于Burnside引理与Polya定理的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

Polya 定理入门[Burnside引理,Polya定理,欧拉函数]

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置换群,Polya引理和burnside引理(等价类计数问题)

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