复数基础及其2D空间的旋转

Posted 2020-11-26 noluye

本文我们讨论复数及其旋转的含义。复数很有意思，本文介绍了复数的基本定义和性质，以及它关于旋转的几何意义。

复数对于旋转的两个方面极为重要：

1. 它引入了旋转算子（rotational operator）的思想：可以通过复数表示一个旋转变换。

2. 它是四元数和多向量的内在属性。

虽然我们暂时不讨论四元数和多向量（后面文章会介绍），但是我们会讨论复数的旋转含义（复平面上的 2D 旋转），以及引入的旋转子（rotor），我们发现通过特定的复数可以描述一个 2D 旋转。

介绍

复数（complex number）又称为数字王国中的“国王”，它可以解决普通实数不能很好解决的问题。

例如，对于以下方程：

$$x^2+1=0$$

尽管方程如此简单，但并没有实数解。实际上，实数无法解决这样的问题：

$$x=sqrt{-1}$$

但这没有妨碍数学家们找到解决此类问题的方法，他们提出一个很牛很简单的思想，就是承认 $i$ 的存在，它满足 $i^2=-1$，于是前面的方程我们可以解出：

$$x=pm i$$

那么 $i$ 到底是什么呢？我们可以不必纠结，$i$ 就是数学家提出的数学工具，一个简单的数学对象，满足 $i^2=-1$。本文会探讨这个数学工具对于旋转如何发挥作用。

 

待续。。。

复数基础

复数的定义

 

复数的性质：公理

 

复数的模

 

复数的加减

 

复数的标量乘法

 

两个复数的乘积

 

共轭复数

 

两个复数的除法

 

复数的逆

 

复数与旋转

 

复平面

 

极坐标表示

 

旋转子