数论------欧拉函数

Posted 2020-11-26 q1204675546

 

 

定义：　　

　　F（n）其的值为    x在区间【1，n-1】中满足gcd（x，n）等于1的x的数量   （即x与n互质的数目）

 

求值：

　　先对n‘进行唯一分解，取出所有质因数　　F（n）=n*（1-1/P₁）*（1-1/P₂）......   *   (1-1/P_n）  

 

唯一分解定理：

　　　任何一个整数n都可以写成        n = P₁^E₁    *    P₂^E₂      ...      *   P_N^{E_{n     （其中p为质数，e为指数）}}

 

 

 

---

 

 

/*
性质：
        1.假设n为素数，则F(n)=n-1
        2.假设m,n互质，则F(n*m)=F(n)*F(m)     （则也是积性函数的性质，特别重要）
        3.假设n为奇数，则F(2*n)=F(n)        证明很简单，2与n互质，且F(2)=1,即：F(2*n)=F(n)*F(2)=F(n) 
        4.只有F(2)=1,其他F(n)的值都是偶数
        5.一个数的所有质因子之和::(F(n)*n/2) 
        6.aF(n)%n=1(%n)    (a,n互质)----->欧拉定理
            对于性质6，当n为质数的时候，就变成了费马小定理了    an-1%n=1(%n) 

*/ 

 

 

 1 typedef long long ll;
 2 ll euler(int n){
 3     ll ans=1;
 4     for (ll i=2;i*i<=n;i++){
 5         if (n%i==0){     
 6             ans*=(i-1);   //因为欧拉函数也是积性函数 
 7             n/=i;
 8             while (n%i==0){
 9                 n/=i;
10                 ans*=i;
11             }
12         }
13     }
14     if (n>1)    ans*=(n-1);
15     return ans;
16 }

代码实现部分

 

 

贴题：

 

 

hdu1286（模板题）

 

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 int eulor(int n){
 5     int sum=1;
 6     for (int i=2;i*i<=n;i++){ 
 7         if (n%i==0){
 8             n/=i;
 9             sum*=(i-1);
10             while (n%i==0){
11                 n/=i;
12                 sum*=i;    
13             }
14         }
15     }
16     if (n>1)    sum*=(n-1);
17     return sum;
18 }
19 int main(){
20     int t;
21     cin>>t;
22     while(t--){
23         int n;
24         cin>>n;
25         cout<<eulor(n)<<endl;
26     }
27     return 0;
28 }

 

 

 

hdu2588

 

 1 #include<iostream>
 2 typedef long long ll;
 3 using namespace std;
 4 ll euler(int n){
 5     ll ans=1;
 6     for (ll i=2;i*i<=n;i++){
 7         if (n%i==0){     
 8             ans*=(i-1);   
 9             n/=i;
10             while (n%i==0){
11                 n/=i;
12                 ans*=i;
13             }
14         }
15     }
16     if (n>1)    ans*=(n-1);
17     return ans;
18 }
19 int main(){
20     int t;
21     cin>>t;
22     while (t--){
23         ll n,m,ans=0,i;
24         cin>>n>>m;
25         for (i=1;i*i<=n;i++){
26             if (n%i==0){
27                 if (i>=m)
28                     ans+=euler(n/i);
29                 if (n/i>=m) 
30                     ans+=euler(i);
31             }
32         }
33         if (i>m&&(i-1)*(i-1)==n)    ans-=euler(i-1);
34         cout<<ans<<endl;
35     }
36     
37     return 0;
38 }