[数学推导]对称轴

Posted 2020-11-26 xyz32768

• 源自校内模拟赛

  Statement

• 求

• [(sum_{i=0}^{p-1}inom{2i}im^i)mod p]

• (1le m<ple 10^{14}) ，(p) 为质数

• 多组数据，数据组数不超过 (10^4)

  Solution

• 神仙题

• 一个转化：

• [inom{2n}n=frac 1{(n!)^2}(prod_{i=1}^n(2i-1))(prod_{i=1}^n2i)=frac{2^n}{n!}prod_{i=1}^n(2i-1)]

• 这看上去没什么用

• 但我们可 (bu) 以 (neng) 想到把 (prod) 里面的每个数都取反后加上 (p) 再除以 (2)

• [ans=sum_{i=0}^{p-1}frac{(2m)^i}{i!}prod_{j=1}^i(2j-1)=sum_{i=0}^{p-1}frac{(-4m)^i}{i!}prod_{j=1}^i(frac{p+1}2-j)]

• [=sum_{i=0}^{p-1}(-4m)^ifrac{prod_{j=1}^i(lfloorfrac p2 floor-j+1)}{i!}=sum_{i=0}^{lfloorfrac p2 floor}inom{lfloorfrac p2 floor}i(-4m)^i=(1-4m)^{lfloorfrac p2 floor}]

• 于是快速幂套快 (gui) 速乘即可，每组数据 (O(log^2p))

• 当然如果你有高超的打表和猜想技巧，这题是可以被打表水过去的