小学数学 - 噪音

Posted 2020-11-26 lrw04

题面

【问题描述】

Robin要到一个小区租房子，他找到的小区是一个(nn)的矩阵（有nn个方格）。小区里有两台割草机，每到周末就要割草，产生很多噪音。割草机每次割草要走到m(m<=n*n)个地方，第i个地方的坐标为(x[i]（行）,y[i]（列）)，制造q[i]点噪音值，小区的噪音十分独特，声音只会横着或竖着传播。每传播一格，噪音值会增加1。（传播的格子数取最小的），Robin选的房子的坐标要在矩阵内。但噪音让他十分头疼。他想求出噪音值最小的地方。

【输入格式】

第一行输入n、m。

接下来m行，每行3个正整数x[i],y[i]和q[i]。

【输出格式】

第一行一个整数表示噪音值最小是多少。

接下来一行两个正整数zb1和zb2，表示噪音值最小的地方的坐标（如果有多个答案，输出横坐标最小的情况下，纵坐标最小的）。

【输入输出样例1】

3 3
1 1 1
1 2 1
1 3 1

5
1 2

【数据范围】

10%的数据，n<=10（来自题目的馈赠）.

30%的数据，n<=1000.

100%的数据，0<n<=100000，0<m<=100000,0<q[i]<=100.

【样例1解释】

（1，1）的初始噪音值为1，（1，2）的初始噪音值为1，（1，3）的初始噪音值为1，（1，1）与（1，2）的距离为1（abs(1-1)+abs(1-2)），传播过程中增加的噪音值为1。（1，2）与（1，2）的距离为0,传播过程中的噪音值为0，（1，3）与（1，2）的距离为1，传播过程中的增加的噪音值为1。总噪音值为1+1+1+1+0+1=5。

解

设答案取得时 Robin 家在 ((x, y)) 处。则噪声值为
[sum_{i=1}^mq_i+|x-x_i|+|y-y_i|]. 我们可以将其分离。(sum q) 是常数，而且假如 (sum|x-x_i|) 和 (sum|y-y_i|) 都取全局最小值的话，噪声值就能取到最小值。如此，只要 (x=x_{lfloorfrac{m + 1}{2} floor}),
(y=y_{lfloorfrac{m + 1}{2} floor}) (令 (x_1le x_2lecdots x_m), (y_1le y_2lecdots y_m)).

在具体求出时，我们不必把所有的 (x_i)_{i=1}^m), ((y_i)_{i=1}^m) 都排序，我们可以使用 std::nth_element() 在线性时间复杂度下完成。

程序

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
 
#define MAXN 100020
int n, m, xs[MAXN], ys[MAXN];
int xo[MAXN], yo[MAXN], qs[MAXN];
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
     
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++)
        cin >> xo[i] >> yo[i] >> qs[i];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        xs[i] = xo[i];
        ys[i] = yo[i];
    }
    int mid = m / 2 - (m % 2 ? 0 : 1);
    nth_element(xs, xs + mid, xs + m);
    nth_element(ys, ys + mid, ys + m);
    long long ans = 0;
    int ansx = xs[mid], ansy = ys[mid];
    for (int i = 0; i < m; i++)
        ans += qs[i] + abs(ansx - xo[i]) + abs(ansy - yo[i]);
    cout << ans << endl << ansx << " " << ansy << endl;
    return 0;
}