数学专题

Posted 2020-11-26 guodonglovesoi

2020年01月27日18:36:47

1. 欧几里得算法
2. 费马小定理
3. 扩展欧几里得算法
4. 欧拉函数
5. 扩展( extrm {CRT})
6. ( extrm{Lucas})定理
7. 扩展( extrm{Lucas})
8. ( extrm{BSGS})
9. ( extrm{EX-BSGS})
10. ( extrm{Miller-Rabin&Pollard-Rho})
11. 拉格朗日插值
12. 高斯消元
13. 欧拉定理

费马小定理

定理：((p) 为质数，(p mid a))
[ a^{p-1}equiv1mod p ]

证明：（学习链接）

设一个质数为(p)，我们取一个不为(p)倍数的数(a)。

构造一个序列：(A={1,2,3dots,n-1})

[ Pispace A_i=Pi (A_i imes a) mod p ]

解释：
[ ecause (A_i,p)=1,(A_i imes a,p)=1 又 ecause 每一个A_i imes a mod p 都是独一无二的,且A_i imes a mod p < p \\ 得证 ]

设(f=(p-1)!),

则(fequiv a imes A_1 imes a imes A_2 imes a imes A_3 dots imes A_{p-1} (mod p))

[ a^{p-1} imes f equiv f mod p \\ a^{p-1} equiv 1 mod p ]

例题：乘法逆元
设逆元为(x)
[ ecause a*xequiv 1 mod p ,a^{p-1}equiv 1 mod p herefore a^{p-2}equiv x mod p ]

例题2:有理数取余

除以一个数等于乘那个数的倒数
逆元有‘同余倒数‘之称

数据过大只需要边读入边%即可。