最短Hamilton路径

Posted 2020-11-26 swiftac

题目大意：给定一张n（n <= 20）个点的带权无向图，点从0~n - 1标号，求起点0到终点n - 1的最短Hamilton路径。Hamilton路径的定义是从0到n - 1不重不漏地经过每个点恰好一次。

分析：这个题最朴素的想法就是枚举n个点的全排列，但是时间复杂度实在太高了。如果我们用二进制状态压缩来表示的话，就能够大大缩小时间消耗。使用状压dp就可以很好的解决这个题。可以使用一个n位二进制数，若其第i位为1，则表示第i个点已被遍历，否则则未经过。在任意时刻还需要直到当前所处的位置，因此我们可以使用dp[i][j]表示，i代表点被经过的状态，j表示当前所在的点的位置，因此我们的最终目标就是dp[(1 << n) - 1][n - 1]。在任意时刻，都有状态转移方程dp[i][j] = min{dp[i ^ (1 << j)][k] + G[k][j]}。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 21;
int dp[1 << maxn][maxn], n;
int G[maxn][maxn];
void solve() {
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    dp[1][0] = 0;
    for (int i = 0; i < (1 << n); i++){
        for (int j = 0; j < n ; j++){
            if ( (i >> j) & 1){
                for (int k = 0; k < n; k++){
                    if ((i ^ (1 << j)) >> k & 1){
                        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i ^ (1 << j)][k] + G[k][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;
}
int main(){
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            cin >> G[i][j];
    solve();
    return 0;
}