Linear_algebra_06_二次型

Posted 2020-11-25 tlfox2006

 

 

 一、二次型

 

 

 即使A不是对称矩阵我们也可以写成这样的形式：f(x1,x2...xn) = X^TAX。

 

 但我们保证二次型与矩阵的唯一性，所以我要求二次型的矩阵一定是对称阵。

 

 

 等价指的是B=PAQ，而合同指的是B=P^TAP，等价不能保证P与Q是互为转置关系。

 

一般而言相似与合同没有关系。只有当P的转置与P的逆是相同的，及正交相似或正交合同的情况下，相似与合同一直。 

 

 

二、正交变化法化二次型为标准型

n元二次型f(x1,x2...xn)，我们做一个可逆线性变换，X=CY=> Y^T(C^TAC)Y,，将二次型化为标准型 Y^TΛY。 实际上是C^TAC=Λ 对角阵。所以说化二次型为标准型的问题，就是找可逆矩阵C，使得C^TAC=Λ，也是让A与对角阵Λ合同。如果A是实对称的，那么它一定与对角阵正交相似。正交相似和正交合同是一致。