浅谈高斯消元

Posted 2020-11-25 baihualiaoluan

高斯消元

一．简介

高斯消元法，我们在线性代数里面的是学过的，它的主要用途是求解n元一次线性方程组。

举个例子，下面这个就是一个4元一次方程组

 

我们可以把它化成一个大小为4*5的矩阵

   

在求解之前，我们首先要了解一下几个线性方程组的基本性质

1. 矩阵中任意两行交换位置，解不变。
2. 同一行乘上同一个数，解不变。
3. 同一行乘上同一个数再加上另一个方程，解不变

接下来，我们来讲解下具体过程，我们的目的就是完成消元后，对于左边的系数矩阵，每一行都有且只有一个数不为0。具体方法就是用上面的运用上面的原理。具体步骤如下

1. 枚举每一行，一行一行的处理；
2. 我们规定第i行存的是x_i的解，因为精度问题，我们首先要找出i+1到n里x_i最大系数的那一行交换到当前第i行。
3. 接下来，我们要去消除其他行里的x_i，具体做法就是将当前行的x_i的系数乘上x_j/x_i,然后用第j行减去第i行。
4. 枚举结束后直接输出结果即可。

二．代码实现

#define re register
#define maxn 105
#define D double
D a[maxn][maxn];
for(re int i = 1; i<=n; ++i)
{
    for(re int j = 1; j<=n+1; ++j)
        scanf("%lf",&a[i][j]);
}
for(re int i = 1; i<=n; ++i)
{
    re int max = i;
    for(re int j =i+1; j<=n; ++j)
    {
        if(fabs(a[j][i])>fabs(a[max][i]))
            max =j;
    }
    for(re int j =1 ; j<=n+1; ++j)
        swap(a[i][j],a[max][j]);
    if(!a[i][i])//如果有一项最大值都为0,则无解
    {
        puts("No Solution");
        return 0;
    }
    for(re int j =1; j<=n+1; ++j)
    {
        if(j!=i)
        {
            re D temp =a[j][i]/a[i][i];
            for(re int k = i+1; k<=n+1; ++k)
            {
                a[j][k]-=temp*a[i][k];
            }
        }
    }

}
for(re int i =1; i<=n; ++i)
    printf("%.2lf
",a[i][n+1]/a[i][i]);

三．相关习题