康托展开

Posted 2020-11-25 baihualiaoluan

 

康拓展开与逆康拓展开

一．简介

　　首先解释一下，所谓的康拓展开，就是能够通过一个式子，得到一个排列在所有排列中的按字典序排好后的位次。而逆康托展开，则是给出排列的位次，能够计算出排列是什么。

　　下面先给出康拓展开的公式   

其中a_i为整数,并且 0≤a_i<i ，1≤ i ≤ n。

 　　a_i表示原数的第i位在当前未出现的元素中是排在第几个。

　　康拓展开是一个双射，因此常用在hash中，比如八数码问题。

　　下面我们来演示下康拓展开的具体计算过程

对于一个1-4的组成的排列{2，3，4，1}，那我们应该怎么计算它的康拓展开值rank。

1. 第一个数是2，后面比它小的就只有1了，rank+=(1*(3)!)
2. 第二个数是3，后面比它小的也只有1了，rank+=(1*(2)!)
3. 第三个数是4，后面比它小的也只有1了，rank+=(1*1!)
4. 最后一个数是1，没有比它小的数了， rank+=(0*0!)

　　所以最终rank = 9(排列{1，2，3，4}是0)。通常我们都是从1开始，所以最终rank是10。

　　接下来我们再演示下逆康拓展开。

　　首先rank--，rank = 9;

　　1.9/3!,得1余3，在未选取的数里，2前面正好有一个1个未选取的数，所以第一个数为2。

　　2.3/2！,得1余1，在未选取的数里，3前面正好有一个1个未选取的数（2已经被选用了），所以第二个数是3。

　　3.1/1！得1余0，在未选取的数里，4前面正好有一个1个未选取的数（2，3已经被选用了），所以第二个数是4。

　　4.最后一个数只能是1了。

二．代码实现

    fac[0] = 1;
    for(int i  = 1;i<N;++i)
    {
        fac[i] =fac[i-1]*i%MOD;
    }
    for(int i =1;i<=N;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        ans = (ans+(sum(a[i]-1)*fac[N-i])%MOD)%MOD;
    }
    cout << ans << endl;

三．相关习题