快速幂

Posted 2020-11-25 xym4869

快速幂

引用：https://blog.csdn.net/Harington/article/details/87602682

求 a^b%m 的值，这个用普通算法我就不说了，时间复杂度O(b)。神奇的快速幂，时间复杂度O（logb）.
我们已知 2^3 求 2^6,不就是 2^3 * 2^3嘛。快速幂就是这个原理。
那有同学问了遇到奇数怎么办？2 ^ 5??
那不就是 2 * 2 ^ 4 这不就成了嘛。
所以这就是快速幂的基本思路求a ^ b.
原理：

1）当b是奇数时，那么有 a^b = a * a^(b-1)
2）当b是偶数时，那么有 a^b = a^(b/2) * a^(b/2)

举个例子？

2 ^10 =
2^10 = 2^5 * 2^5
2^5 = 2 * 2^4
2^4 = 2^2 * 2^2
2^2 = 2^1 * 2^1
2^1 = 2 * 2^0

根据这两个条件写递归式:

typedef long long ll;
    ll binaryPow(ll a, ll b, ll m) {
        ll temp;
        if (b == 0)
            return 1;
        else if (b % 2 == 1)
            temp = a * binaryPow(a, b - 1, m) % m;
        else {
            temp = binaryPow(a, b / 2, m) % m;
            temp = temp * temp % m;
        }
        return temp;
    }

其中

b % 2 == 1
可换成
b & 1

此为按位与，判断b的末尾是否为1 ，因此当b 为奇数时 b & 1 返回为1，if条件成立，这样执行速度更快。

+－一般使用2个CPU时钟,位运算 只要1个,* 要4个,/ 要40个

针对不同的题目，有两个细节需要注意
1）如果初始值a 大于 m ，那么需要在进入函数前就让a 对 m 取模，
2）若果m 为 1，可以直接在函数外部特判为 0，不需要进入函数来计算。（因为任何数对1 取模都是0）。

快速幂的迭代写法

对于 a ^ b来说，若果把 b 写成2 进制，那么b 就可以写成若干二次幂之和，如13 的二进制 1101，于是3 号位 、2号位、0号位就都是1，那么就可以得到13 = 2^3 + 2^2 + 2^1 = 8 + 4 + 1。所以a ^13 = a^8 * a^4 * a^1。
通过同样的推导，我们可以把任意的a^b 表示成 a^(2^k)……、a^8、a^4、a^2、a^1中若干的乘积。若果二进制的i号位为1.那么想中的a^(2^i)就被选中。于是可以得到计算a^b的大致思路：令i 从0到k枚举b的二进制的每一位，如果为1 那就累计a^(2^i)。注意 a^(2^k)……、a^8、a^4、a^2、a^1前一项总是等于后一项的平方。
具体步骤：
（1）初始令ans = 1,用来存放累积的结果。
（2）判断b的二进制末尾是否为1 ，（及判断 b&1 是否为 1），也可以理解为判断b是否为奇数。如果是的话，令ans乘上a的值。
（3）令a平方，并使b右移一位，（也可以理解为，b/2）
（4）只要b大于0，就返回（2）。
代码：

    ll binaryPow(ll a, ll b, ll m) {
        ll ans = 1;
        while (b > 0) {
            if (b & 1) {
                ans = ans * a % m;
            }
            a = a * a % m;
            b = b >> 1;
        }
        return ans;
    }