多项式除法&取模

Posted 2020-11-25 xjqxjq

除法&取模
设 $n$ 次多项式 $F(x)$ 和 $m$ 次多项式 $G(x)$ ，求 $n-m$ 次多项式 $Q(x)$ 和 $m-1$ 次多项式 $R(x)$ 满足$$F(x)=G(x)Q(x)+R(x)$$
于是我们有 $$F(frac{1}{x})=G(frac{1}{x})Q(frac{1}{x})+R(frac{1}{x})$$
两遍同乘 $x^n$ ： $$x^nF(frac{1}{x})=x^mG(frac{1}{x})x^{n-m}Q(frac{1}{x})+x^{n-m+1}x^{m-1}R(frac{1}{x})$$
对于 $n$ 次多项式 $A(x)$ ， $x^nA(frac{1}{x})$ 代表的是多项式系数对称交换，设其为 $a(x)$，则$$f(x)=g(x)q(x)+x^{n-m+1}r(x)$$
由于 $Q(x)$ 是 $n-m$ 次多项式，于是式子满足$$f(x)equiv g(x)q(x) pmod{x^{n-m+1}}$$
于是$$q(x)equiv frac{f(x)}{g(x)} pmod{x^{n-m+1}}$$
多项式求逆即可
于是我们可以求出 $Q(x)$ ，根据定义求出 $R(x)$ 即可

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=6e5+5,P=998244353;
int n,m,f[N],g[N],G[2]={3,(P+1)/3},A[N],B[N],t,p,re[N],d[N],q[N];
int X(int x){return x>=P?x-P:x;}
int K(int x,int y){
    int z=1;
    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
        if (y&1) z=1ll*z*x%P;
    return z;
}
void put(int *a,int l){
    for (int i=0;i<=l;i++)
        printf("%d",a[i]),
        putchar(i<l?‘ ‘:‘
‘);
}
void pre(int l){
    for (t=1,p=0;t<l;t<<=1,p++);
    for (int i=0;i<t;i++)
        re[i]=(re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));
}
void Ntt(int *a,int o){
    for (int i=0;i<t;i++)
        if (i<re[i]) swap(a[i],a[re[i]]);
    for (int wn,i=1;i<t;i<<=1){
        wn=K(G[o],(P-1)/(i<<1));
        for (int x,y,j=0;j<t;j+=(i<<1))
            for (int w=1,k=0;k<i;k++,w=1ll*w*wn%P)
                x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%P,
                a[j+k]=X(x+y),a[i+j+k]=X(x-y+P);
    }
    if (o)
        for (int i=0,v=K(t,P-2);i<t;i++)
            a[i]=1ll*a[i]*v%P;
}
void inv(int *a,int *b,int l){
    if (l==1){
        b[0]=K(a[0],P-2);
        return;
    }
    inv(a,b,(l+1)>>1);
    for (int i=0;i<l;i++)
        A[i]=a[i],B[i]=b[i];
    pre(l<<1);Ntt(A,0);Ntt(B,0);
    for (int i=0;i<t;i++)
        A[i]=1ll*A[i]*B[i]%P*B[i]%P;
    Ntt(A,1);
    for (int i=0;i<l;i++)
        b[i]=X(X(b[i]<<1)+P-A[i]);
    for (int i=0;i<t;i++) A[i]=B[i]=0;
}
void dvs(int *f,int *g,int *q,int *d){
    reverse(f,f+n+1);reverse(g,g+m+1);
    inv(g,q,n-m+1);
    for (int i=0;i<=n-m;i++)
        A[i]=q[i],B[i]=f[i];
    pre((n-m+1)<<1);Ntt(A,0);Ntt(B,0);
    for (int i=0;i<t;i++)
        A[i]=1ll*A[i]*B[i]%P;
    Ntt(A,1);
    for (int i=0;i<=n-m;i++) q[i]=A[i];
    for (int i=0;i<t;i++) A[i]=B[i]=0;
    reverse(q,q+n-m+1);
    reverse(f,f+n+1);reverse(g,g+m+1);
    for (int i=0;i<=m;i++) A[i]=g[i];
    for (int i=0;i<=n-m;i++) B[i]=q[i];
    pre(n+2);Ntt(A,0);Ntt(B,0);
    for (int i=0;i<t;i++)
        A[i]=1ll*A[i]*B[i]%P;
    Ntt(A,1);
    for (int i=0;i<m;i++)
        d[i]=X(f[i]-A[i]+P);
    for (int i=0;i<t;i++) A[i]=B[i]=0;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for (int i=0;i<=n;i++)
        scanf("%d",&f[i]);
    for (int i=0;i<=m;i++)
        scanf("%d",&g[i]);
    dvs(f,g,q,d);
    put(q,n-m);put(d,m-1);
    return 0;
}