线性基

Posted 2020-11-25 66t6

线性基

概述

线性基，是一个线性空间(二元运算为异或)的极大线性无关子集

用于解决一系列集合异或和最值问题

注意与Trie树区别在于可以多个

性质

1.表示任意一个异或和方式唯一
2.所有子集异或和不为0
3.线性基内高位各不相同
4.(tot)个位置可以表示(2^{tot})种异或和

实现

先做一些定义
(p_i)表示以第(i)位为最高位的基底
(dig_i)表示从低到高第(i)个有值的位置

插入

从高到低考虑(x)的每一位(其实是当前的最高位)
若这一位(p)没有值直接插入
否则异或上这一位的(p)
那么这一位以上的位均会变成0,并且如果他能插入应为线性无关的因此保证可正确性
操作直到成功插入或(x=1)后停止(线性有关)

inline char Insert(re ll x){re int i;for(i=DIGIT;x;--i)if((x>>i)&1){if(p[i])x^=p[i];else return p[i]=x,1;}return 0;}

求子集最大/最小异或和

对最大:从高向低位贪心(线性基性质导致低位不会影响高位)能拼凑出当前位就拼

对最小:这个直接找到最高位最低的基即可

inline ll Find_max(void){
    re int i;re ll res=0;
    for(i=DIGIT;~i;--i)if((res^p[i])>res)res^=p[i];
    return res;
}
inline ll Find_min(void){
    re int i;re ll res=0;
    for(i=0;i<=DIGIT;++i)if(p[i])return p[i];
}

高斯消元

把线性基化成每一个向量最多含一位的形式

方便比较

去重第k小

直接二进制拆位后拼凑即可

这是不用(dig)预处理的(同理)

inline ll Find_kth(re ll k){
    re int i,x;
    if(n^tot)--k;if(k>=(1ll<<tot))return -1;
    ans=0,x=tot;for(i=DIGIT;~i;--i)if(p[i])if(((k>>(--x))&1)^((ans>>i)&1))ans^=p[i];
    return ans;
}