高等数学A2 2020/2/27 第二次课

Posted 2020-11-25 zhwer

1.3 齐次方程

(n) 次齐次函数： (f(x,y))

如：(x^2-3xy) 为二次齐次函数，(x^3-3x^2y+y^3) 为三次齐次函数。

齐次微分方程：(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0)

其中，(M(x,y),N(x,y)) 是同次齐次函数。

例：(frac{dy}{dx}=frac{xy-x^2}{x^2+y^2}=frac{frac{y}{x}-1}{1+(frac{y}{x})^2}=f(frac{y}{x}))

令 (frac{y}{x}=u) 即 (y=xu) 则 (frac{dy}{dx}=u+xfrac{du}{dx}) 代入原式并整理。

得：(frac{1}{f(u)-u}du=frac{1}{x}dx;) 积分后： (intfrac{1}{f(u)-u}du=intfrac{1}{x}dx ightarrow F(u)=lnx+C)

齐次微分方程通解即为：(F(frac{y}{x})=lnx+C)

1.4 一阶线性微分方程