SP11560 PUCMM210 - A Summatory

Posted 2020-11-25 wangjunrui

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题目链接：SP11560 PUCMM210 - A Summatory

[description]

输入T和T个n

求出
[ sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{i}j^3 ]

[solution]

结论：

对于任意一个
[f(n)=sum_{i=1}^{n}i^3 (nin N^* ) ]
满足
[f(n)=frac{n^2(n+1)^2}{4}]

### 证明：
当(n=1)时，
[sum_{i=1}^ni^3=1^3=frac {1^2 imes2^2}{4}]
显然成立

设当(k=n)时成立
则 (sum_{i=1}^ki^3=frac{k^2(k+1)^2}{4})成立
此时
[1^3+2^3+...+k^3=frac{k^2(k+1)^2}{4}]
[1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3]
[1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}]
[1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=frac{(k^2+4k+4)(k+1)^2}{4}]
[1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=frac{ (k+2)^2 (k+1)^2}{4}]
所以此时(k+1=n)成立

所以
[f(n)=sum_{i=1}^{n}i^3=frac{n^2(n+1)^2}{4} (nin N^* ) ]

[code]

#include <cstdio>
#define re register
using namespace std;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
    x=0;
    char s=(char)getchar();
    bool flag=false;
    while(!(s>='0'&&s<='9'))
    {
        if(s=='-')
            flag=true;
        s=(char)getchar();
    }
    while(s>='0'&&s<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0';
        s=(char)getchar();
    }
    if(flag)
        x=(~x)+1;
}
int T,n;
const int N=1e6,mod=1000000003;
int f[N+5];
int main()
{
    for(re int i=1; i<=N; ++i)
        f[i]=(int)((f[i-1]+1ll*i*i%mod*(i+1)%mod*(i+1)%mod*250000001%mod)%mod);//250000001是4关于1000000003的逆元 
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(n);
        printf("%d
",f[n]);
    }
    return 0;
}