常见反演技巧
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了常见反演技巧相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
反演
定义：
假设有两个函数
f
f
f和
g
g
g满足
f
(
n
)
=
∑
某
种
规
则
a
n
,
i
g
(
i
)
f(n)=\\sum_某种规则 a_n,ig(i)
f(n)=某种规则∑an,ig(i)
已知
f
f
f求
g
g
g的过程就称为反演
首先，在线性代数里面我们已经学过一般加法的形式，对于 A X = Y AX=Y AX=Y可以容易的 O ( N 3 ) O(N^3) O(N3)求出 X = A − 1 Y X=A^-1Y X=A−1Y，那么上面式子里的 a n , i a_n,i an,i就简单的等于某行之和。
二项式反演
若 f ( n ) = ∑ i = 0 n ( n i ) g ( i ) f(n)=\\sum_i=0^n\\tbinomnig(i) f(n)=∑i=0n(in)g(i)，则 g ( n ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i ( n i ) f ( i ) g(n)=\\sum_i=0^n(-1)^n-i\\tbinomnif(i) g(n)=∑i=0n(−1)n−i(in)f(i)
证：
首先知道
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
i
)
=
[
i
=
n
]
\\sum_i=0^n(-1)^i \\tbinomni=[i=n]
∑i=0n(−1)i(in)=[i=n]
g
(
n
)
=
∑
i
=
0
n
[
i
−
n
=
0
]
(
n
i
)
g
(
i
)
=
∑
i
=
0
n
∑
j
=
0
n
−
i
(
−
1
)
j
(
n
j
)
(
n
−
j
i
)
g
(
i
)
=
∑
i
=
0
n
∑
j
=
0
n
−
i
(
−
1
)
j
(
n
j
)
(
n
−
j
i
)
g
(
i
)
=
∑
j
=
0
n
(
−
1
)
j
(
n
j
)
∑
i
=
0
n
−
j
(
n
−
j
i
)
g
(
i
)
=
∑
j
=
0
n
(
−
1
)
j
(
n
j
)
f
(
n
−
j
)
=
∑
j
=
0
n
(
−
1
)
n
−
j
(
n
j
)
f
(
j
)
g(n)=\\sum_i=0^n[i-n=0]\\tbinomnig(i)\\\\=\\sum_i=0^n\\sum _j=0^n-i(-1)^j\\tbinomnj\\tbinomn-jig(i)\\\\=\\sum_i=0^n\\sum _j=0^n-i(-1)^j\\tbinomnj\\tbinomn-jig(i)\\\\=\\sum_j=0^n(-1)^j\\tbinomnj\\sum _i=0^n-j\\tbinomn-jig(i)\\\\=\\sum_j=0^n(-1)^j\\tbinomnjf(n-j)\\\\=\\sum_j=0^n(-1)^n-j\\tbinomnjf(j)
g(n)=i=0∑n[i−n=0](in)g(i)=i=0∑nj=0∑n−i(−1)j(jn)(in−j)g(i)=i=0∑nj=0∑n−i(−1)j(jn)(in−j)g(i)=j=0∑n(−1)j(jn)i=0∑n−j(in−j)g(i)=j=0∑n(−1)j(jn)f(n−j)=j=0∑n(−1)n−j(jn)f(j)
其中第三步主要通过交换求和符号构造
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
g
(
i
)
=
f
(
n
)
\\sum_i=0^n\\tbinomnig(i)=f(n)
∑i=0n(in)g(i)=f(n)的形式从而得到
f
(
n
)
f(n)
f(n)
莫比乌斯反演
若
f
(
n
)
=
∑
i
∣
n
g
(
i
)
f(n)=\\sum_i|ng(i)
f(n)=∑i∣ng(i)，则
g
(
n
)
=
∑
i
∣
n
μ
(
i
)
f
(
n
i
)
g(n)=\\sum_i|n\\mu(i)f(\\frac ni)
g(n)=∑i∣nμ(i)f(in)，其中
μ
(
i
)
\\mu(i)
以上是关于常见反演技巧的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章