[C/C++]详解STL容器6--AVL树的介绍及部分模拟实现
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[C/C++]详解STL容器6--AVL树的介绍及部分模拟实现相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
本文对AVL树进行了介绍，并对其核心功能进行了模拟实现。
目录
3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
一、AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树；
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)。
可以通过每个节点增加平衡因子（右子树高度 - 左子树高度）来保证高度之差绝对值不超过1。
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
，搜索时间复杂度。
二、AVL树节点的定义
AVL树节点的定义：
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf; //平衡因子
pair<K, V> _kv; //使用结构模板将两个数据打包为一个数据
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
,_kv(kv)
;三、AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
- 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中；
- 调整节点的平衡因子，新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性。
cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
- 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可;
- 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可;
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
- 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功;
- 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新;
- 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理。
具体代码如下（旋转部分在下一部分介绍）：
bool Insert(const pair<K, V> kv)
if (_root == nullptr)
_root = new Node(kv);
return ture;
//1.找到目标位置并插入新节点
Node* parent = _root, cur = _root;
while (cur)
if (cur->_kv.first > kv.first)
parent = cur;
cur = cur->_left;
else if (cur->_kv.first < kv.first)
parent = cur;
cur = cur->_right;
else
return false;
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
else
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
//控制平衡
//1.更新平衡因子
//2.不平衡则旋转
while (cur != _root)
if (parent->_left == cur) //处理，左加右减
parent->_bf++;
else
parent->_bf--;
if (parent->_bf == 0)
break; //原本 = -1 / 1，且加到了另一侧空的地方，高度没有变化
else if(parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
//高度发生变化，需要继续改变父节点
cur = parent;
parent = parent->_parent;
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
//需要旋转
return true;
四、AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在；
- 60可能是根节点，也可能是子树。如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点，如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。
代码如下：
void RotateR(Node* parent)
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_left;
Node* parentP = parent->_parent;
if (subLR) //左子树的右子树连接到父的右
subLR->_parent = parent;
parent->_left = subLR;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
// 如果parent是根节点，根新指向根节点的指针
if (parent == _root)
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
else
// 如果parent是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
if (parentP->_left == parent)
parentP->_left = subL;
else
parentP->_right = subL;
subL->_parent = parentP;
// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
subL->_bf = parent->_bf = 0;
2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
逻辑可参考1，这里直接给出代码：
void RotateL(Node* parent)
Node* subR = parent->_left;
Node* subRL = subL->_left;
Node* parentP = parent->_parent;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
parent->_right = subRL;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
// 如果parent是根节点，根新指向根节点的指针
if (parent == _root)
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
else
// 如果parent是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
if (parentP->_left == parent)
parentP->_left = subR;
else
parentP->_right = subR;
subR->_parent = parentP;
subR->_bf = parent->_bf = 0;
3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整.
平衡因子更新三种情况：
- b子树高度变化为h+1，引发双旋；
- c子树高度变化为h+1，引发双旋；
- h == 0, a,b,c,d子树都存在，60是新增。
代码如下：
void RotateLR(Node* parent)
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->__right;
int bf = subR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1) //情况一：
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
else if (bf == 1) //情况二：
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
else if (bf == 0) //情况三：
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
else
assert(false);
4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
代码如下：
void RotateRL(Node* parent)
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subL->_left;
int bf = subR->_bf; //旋转之前，保存SubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
RotateR(parent->_right); //先右
RotateL(parent);
//更新平衡因子
if (bf == 1) //情况一：
subL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
else if (bf == -1) //情况二：
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
else if (bf == 0) //情况三：
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
else
assert(false);
5.总结
假如以Parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
- Parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为SubR
- 当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋
- 当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
- parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为SubL
- 当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
- 当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原parent为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
五、AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
完整代码
#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf; //平衡因子
pair<K, V> _kv; //使用结构模板将两个数据打包为一个数据
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
,_kv(kv)
;
template<class K, class V>
class AVLTree
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
private:
Node* _root;
void _Destory(Node* root)
if (root == nullptr)
return;
_Destory(root->_left);
_Destory(root->_right);
delete root;
void RotateR(Node* parent)
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* parentP = parent->_parent;
if (subLR) //左子树的右子树连接到父的右
subLR->_parent = parent;
parent->_left = subLR;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
// 如果parent是根节点，根新指向根节点的指针
if (parent == _root)
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
else
// 如果parent是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
if (parentP->_left == parent)
parentP->_left = subL;
else
parentP->_right = subL;
subL->_parent = parentP;
// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
subL->_bf = parent->_bf = 0;
void RotateL(Node* parent)
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* parentP = parent->_parent;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
parent->_right = subRL;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
// 如果parent是根节点，根新指向根节点的指针
if (parent == _root)
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
else
// 如果parent是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
if (parentP->_left == parent)
parentP->_left = subR;
else
parentP->_right = subR;
subR->_parent = parentP;
subR->_bf = parent->_bf = 0;
void RotateLR(Node* parent)
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1) //情况一：
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
else if (bf == 1) //情况二：
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
else if (bf == 0) //情况三：
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
else
assert(false);
void RotateRL(Node* parent)
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf; //旋转之前，保存SubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
RotateR(parent->_right); //先右
RotateL(parent);
//更新平衡因子
if (bf == 1) //情况一：
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
else if (bf == -1) //情况二：
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
else if (bf == 0) //情况三：
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
else
assert(false);
void _InOrder(Node* root)
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
int _Height(Node* root)
if (root == nullptr)
return 0;
int left = _Height(root->_left);
int right = _Height(root->_right);
return right > left ? right + 1 : left + 1;
bool _IsBalance(Node* root)
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 检查一下平衡因子是否正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;
return false;
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
~AVLTree()
_Destory(_root);
_root = nullptr;
V& operator[](const K& key)
pair<Node*, bool> ret = Insert(make_pair(key, V()));
return ret.first->_kv.second;
pair<Node*, bool> Insert(const pair<K, V> kv)
if (_root == nullptr)
_root = new Node(kv);
return make_pair(_root, true);
//1.找到目标位置并插入新节点
Node* parent = _root,* cur = _root;
while (cur)
if (cur->_kv.first > kv.first)
parent = cur;
cur = cur->_left;
else if (cur->_kv.first < kv.first)
parent = cur;
cur = cur->_right;
else
return make_pair(cur, true);
cur = new Node(kv);
Node* newnode = cur;
if (parent->_kv.first < kv.first)
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
else
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
//控制平衡
//1.更新平衡因子
//2.不平衡则旋转
while (cur != _root)
if (parent->_left == cur) //处理
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
if (parent->_bf == 0)
break; //原本 = -1 / 1，且加到了另一侧空的地方，高度没有变化
else if(parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
//高度发生变化，需要继续改变父节点
cur = parent;
parent = parent->_parent;
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
//需要旋转
if (parent->_bf == -2) //左边高
if (parent->_bf == -1)
//左边高，右单旋
RotateR(parent);
else
RotateLR(parent);
else
if (parent->_bf == 1)
//左边高，右单旋
RotateL(parent);
else
RotateRL(parent);
else
assert(false);
return make_pair(newnode, true);
Node* Find(const K& key)
Node* cur = _root;
while (cur)
if (cur->_kv.first < key)
cur = cur->_right;
else if (cur->_kv.first > key)
cur = cur->_left;
else
return cur;
return nullptr;
void InOrder()
_InOrder(_root);
bool IsAVLTree()
return _IsBalance(_root);
bool Erase(const K& key)
return false;
;
test.cpp
#include"AVLTree.h"
#include<string>
void TestAVLTree()
//int a[] = 1, 3, 5, 7, 6 ;
//int a[] = 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 ;
int a[] = 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 ;
AVLTree<int, int> t;
for (auto e : a)
t.Insert(make_pair(e, e));
cout << "" << e << "->" << t.IsAVLTree() << endl;
t.InOrder();
cout << t.IsAVLTree() << endl;
t.InOrder();
t[3] *= 10;
t[4] *= 10;
t[5] *= 10;
t.InOrder();
AVLTree<string, string> dict;
dict.Insert(make_pair("sort", ""));
dict.Insert(make_pair("left", ""));
dict.InOrder();
dict["left"] = "+";
dict["string"] = "ַ";
dict.InOrder();
int main()
TestAVLTree();
printf("谨以此篇献给奶奶！愿她在天堂一切安好");
return 0;
结果：
以上是关于[C/C++]详解STL容器6--AVL树的介绍及部分模拟实现的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
[C/C++]详解STL容器7--红黑树的介绍及部分模拟实现
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