Luogu4219 [BJOI2014]大融合

Posted 2020-11-25 fruitea

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Solution

求两端点的子树大小然后相乘。

可以想到直接断边然后两边都(makeroot)一下。答案就是根节点的(size)。

但是怎么维护(size)呢？实子树大小可以直接由两个实儿子得到。但是虚子树不行。所以可以对每个点多维护一个(sv[])，表示这个节点的虚子树大小总和。

那么(pushup)就相应变成：

inline void pushup(int x){s[x]=s[ch[x][0]]+s[ch[x][1]]+sv[x]+1;}

我们假设已经知道每个节点的(sv[])，考虑有哪些操作会改变(sv[])。

肯定是那些涉及虚实边切换的操作。像是(link)，(access)一类。

总结一下就是：

(rotate)和(splay)都是在实链上操作，只会改变节点的相对位置，并不影响虚实边，所以不需要修改(sv[])。

(access)每次会把原来的右实儿子变成虚儿子，再把传上来的节点变成右实儿子。所以需要更改(sv[])。

inline void access(int x){
        for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
            splay(x),sv[x]+=s[ch[x][1]]-s[y],ch[x][1]=y,pushup(x);
    }

(makeroot)，(split)，(findroot)都只是调用了原来的函数。不用做修改。

(link)使(x)成为了(y)的虚儿子，需要修改(y)的(sv[])。而且特别注意不仅要让(x)在根节点位置，(y)也要放到根节点处。如果(y)不在根节点，那么(sv[y])变化，(y)的祖先的(sv[])也有可能要随之变化，这是不能接受的。

inline void link(int x,int y){
        makeroot(x);makeroot(y);//如果y不在根节点，那它祖先的虚子树信息也要一起修改;
        fa[x]=y;
        sv[y]+=s[x];
    }

(cut)只是删除了一条实边，(pushup)会自行修改，不用管。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),ed=(b);i<=ed;++i)
inline int read(){
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^'0');ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}

const int N=1e5+10;
int n,q;

namespace LinkCutTree{
    int fa[N],ch[N][2],r[N],s[N],sv[N];
    inline void pushr(int x){swap(ch[x][0],ch[x][1]),r[x]^=1;}
    inline void pushdown(int x){if(r[x])pushr(ch[x][0]),pushr(ch[x][1]),r[x]=0;}
    inline void pushup(int x){s[x]=s[ch[x][0]]+s[ch[x][1]]+sv[x]+1;}
    inline int getdir(int x){return x==ch[fa[x]][1];}
    inline bool noroot(int x){return x==ch[fa[x]][0]||x==ch[fa[x]][1];}
    inline void rotate(int x){
        int f=fa[x],p=fa[f],k=getdir(x),s=ch[x][k^1];
        ch[x][k^1]=f;ch[f][k]=s;if(noroot(f))ch[p][getdir(f)]=x;
        fa[f]=x;fa[x]=p;if(s)fa[s]=f;
        pushup(f);
    }
    inline void splay(int x){
        static int stk[N];
        int tp=0,y=x;stk[++tp]=y;
        while(noroot(y))stk[++tp]=y=fa[y];
        while(tp)pushdown(stk[tp--]);
        for(int f=fa[x];noroot(x);rotate(x),f=fa[x])
            if(noroot(f))rotate(getdir(f)==getdir(x)?f:x);
        pushup(x);
    }
    inline void access(int x){
        for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
            splay(x),sv[x]+=s[ch[x][1]]-s[y],ch[x][1]=y,pushup(x);
    }
    inline void makeroot(int x){
        access(x);splay(x);pushr(x);
    }
    inline void split(int x,int y){
        makeroot(x);access(y);splay(y);
    }
    inline void link(int x,int y){
        makeroot(x);makeroot(y);//如果y不在根节点，那它祖先的虚子树信息也要一起修改;
        fa[x]=y;
        sv[y]+=s[x];
    }
    inline void cut(int x,int y){
        split(x,y);
        fa[x]=ch[y][0]=0;
    }
}using namespace LinkCutTree;

int main(){
    n=read(),q=read();
    REP(t,1,q){
        char ch;scanf("%c",&ch);
        int x=read(),y=read();
        if(ch=='Q'){
            cut(x,y);makeroot(x);makeroot(y);
            printf("%lld
",1ll*s[x]*s[y]);
        }
        link(x,y);
    }
    return 0;
}