欧拉函数

Posted 2020-11-25 nioh

$phi(n)$即小于n且与n互素的整数个数。
由容斥定理可得公式：

$phi(n)=sum_{Ssubseteq {left { p_{1},p_{2},...,p_{k} ight }}}(-1)^{left | S ight |}frac{n}{prod_{p_{i}in S}p_{i}}$

可经过化简得：

$phi(n)=n(1-frac{1}{p_{1}})(1-frac{1}{p_{2}})cdots (1-frac{1}{p_{k}})$

单个求法：

int euler_phi(int n) {
    int m = (int)sqrt(n + 0.5);
    int ans = n;
    for(int i = 2; i <= m; i++) if(n % i == 0) {
        ans = ans / i * (i - 1);
        while(n % i == 0) n /= i; 
    }
    if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}

求1~n中所有数的欧拉函数值（类似素数筛法）：

void phi_table(int n){
    for(int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = 0;
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) if(!phi[i])
       for(int j = i; j <= n; j += i){
             if(!phi[j]) phi[j] = j;
             phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
       }
}

时间复杂度O（nloglogn）。