图论——关于Dijkstra的贪心思想

Posted 2020-11-25 ninedream

引语

　　作为求解最短路问题的算法中最稳健的算法，Dijkstra以其惊奇的操作和独特的魅力，吸引了无数OIer学习、钻研。身为一名蒟蒻，本人以有限的能力付诸仔细的思考，对于Dijkstra算法中贪心思想的正确性有了新的认识。

　　咳咳，相信我，这是一篇很正常的博客，本人也是一名很正常的博主。

　　大多数OIer在初学Dijkstra算法时都不求甚解，单纯的把板子背下来就算了，而对于其中的贪心思想的内涵并没有做过深入挖掘。对于其贪心算法的正确性，我以我个人的理解，进行非严格的证明，希望有助于大家理解Dijkstra算法。

正文

　　回顾Dijkstra算法的流程：

　　1. 初始化dis[1]=0，其余节点的dis值置为正无穷。

　　2. 找出一个未被标记的、dis[k]最小的节点k，标记。

　　3. 遍历节点k的所有出边，进行松弛操作。

　　4. 重复步骤2~3，直到所有节点均被标记。

　　不难发现，该算法正确的关键，就在于每次找出的节点k必然已是起点到k的最短路径。基于此，当所有节点都被标记时，就相当于所有节点的最短路均已被求解，算法结束。

故而，要证明该算法的正确性，实际上只需证明每次找出的节点必然已经是起点到k的最短路径即可。

　　由于每次都会标记一个点，故等到所有点全部标记，循环的重复次数即为节点数n。

　　下面考虑证明。

证明：

　　对于起点，dis[1]=0，显然正确。

　　考虑第一次循环。

　　由于只有dis[1]有值，其余均为正无穷，故第一次找到的节点必然为起点。

　　接下来的操作是遍历该点的出边。

　　假设由起点出发的边指向的点为v1、v2、……、vs。

　　只需证明松弛以上各点后，各点中的dis值最小者其dis值必然已是最短路即可。

　　反证法：

　　设v1、v2、……、vs中dis值最小者为vm。

　　假设该点此时的dis值不是起点到m的最短路径。

　　则必然可以找到一条路径：起点 → vx →……→vm，使该路径的长度小于此时的dis[m]。

　　其中vx是v1、v2、……、vs中的某点。

　　根据假设，由于m点是从起点出发经过一条边直接达到的所有点中长度最小的，因而该路径中起点 → vx这一步的长度必然大于等于起点 → vm的长度，由于边权均非负，因而该路径的总长度必然不可能小于此时的dis[m]。

　　矛盾！

　　故这一步找到的m点必然已经找到了最短路。

　　而下一步也必然会拿m点进行松驰。循环重复，直至所有点都被找到最短路。

　　故该算法正确性成立。

证毕！

　　其实上述证明过程实际也解释了为何Dijkstra算法只适用于边权非负的情况。如果边权不满足均非负，则正确性无法得到证明。