新的数学模型揭示，如何才能打出最牢的结

Posted 2020-11-24

从航海到攀岩，从建筑到机械，许多活动都离不开给绳索打结。然而，结有很多不同的种类，有的绳结比其他的更牢固。比如经验老道的水手知道当要把一张床单固定在前桅上时该打什么结，要把船拴在桩子上时又该打什么结。
　　那么，为什么有的绳结更牢固，而有的却很容易散开呢？
　　这是一个至今仍未得到很好解答的问题。最近，麻省理工学院的两位数学家和两位工程师共同开发了一个数学模型，他们根据绳结的交叉数量、绳结被拉紧时扭结的方向等几个关键的拓扑属性，预测出了不同绳结的机械稳定性。
　　他们发现，这些细微的参数差别在很大程度上决定了绳结是否牢固。在模型和实验中，他们利用<strong>变色纤维</strong>的不同部位在受到不同应力和压力时所呈现出的颜色差异，来研究两个几乎相同的绳结究竟哪个更牢固。过去我们只能凭经验来判断怎样的绳结最牢，而新的模型终于可以给出背后的理论原因。
　　研究人员将这一研究结果发表在了近期的《科学》杂志上。
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　　2018 年，工程师<strong>Mathias Kolle</strong>和他的团队设计出了会随着应力或压力变化而改变颜色的可拉伸纤维。当拉动这样一根纤维时，它的颜色会从彩虹的一种颜色变成另一种颜色，尤其是在受到压力和应力最大的地方。
　　一直以来，绳结也是数学家所感兴趣的课题，数学中的一个分支领域——<strong>纽结理论</strong>——就是专门从拓扑学的角度研究这些扭结。在纽结理论中，数学家用数学用语来描述扭结，以及它们在维持其拓扑结构的同时可以被扭曲或变形成的所有几何形状。
　　对于数学家来说，他们无需关心构成扭结的材料是什么，也不关心任何与力学有关的问题，他们只从数学的角度出发，将它当成扭结来研究。因此在新的研究中，数学家<strong>Jörn Dunkel</strong>和 Kolle 联手在数学模型之上增加一些力学考虑，得出了一个可以理解扭结稳定性的模型。
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　　在研究中，他们先将变色纤维编织成各种各样的扭结，比如三叶结、八字结等等，他们会拍下每一根纤维的样子，记录下纤维颜色的改变，以及当纤维被拉紧时施加在纤维上的力。利用这些实验数据，他们校准了 Dunkel 的团队先前一个用来描述意大利面的模型。在那个模型中，Dunkel 和论文的第一作者<strong>Vishal Patil</strong>将意面或者其他的柔软绳索视为一连串小的、分散的、用弹簧相连的珠子。每个弹簧弯曲和变形的方式可以根据施加在每个弹簧上的力来计算。
　　此前，Kolle 的学生<strong>Joseph Sandt</strong>为他们的变色纤维绘制了一幅彩色图谱，描绘了这种纤维在不同压力值下所呈现的颜色。数学家将这些色彩数据整合到他们的意面模型中，然后用这个修正过的模型来模拟用实际纤维打成的绳结。当他们将实际的绳结与模拟的绳结进行对比时，得到了相同的颜色模式，这表明这一模型准确地模拟了绳结中的应力分布。
　　在此基础上，他们接着模拟了更加复杂的绳结，注意到哪些绳结承受的压力更大，因此比其他绳结更结实。一旦根据相对强度对绳结进行了分类，他们就开始寻找某些绳结比其他绳结更强的原因。他们为一些特殊的绳结绘制了简单的图表。
　　每个扭结图都描绘了两股绳在被拉紧之前打结的模式。图中标注了扭结被拉紧时每一股绳索的方向、每一股的交叉，以及随着绳结收紧时每一股的旋转方向。
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　　通过比较不同强度的绳结图表，研究人员能够识别出一般的“计数规则”，即决定绳结稳定性的特征。基本上，<strong>如果一个结有更多的交叉和更多的“扭转波动”</strong><strong>（</strong>即绳索的一段到另一段在旋转方向上发生的变化），<strong>它就会更牢固</strong>。
　　例如，如果一个纤维段在一个交叉之后向左旋转，而在旁边相邻的交叉后向右旋转时，这就会产生扭转波动，在拉紧绳索时抵消了摩擦，从而增加了扭结的稳定性。然而，如果一个线段在两个相邻的交叉点上朝相同的方向旋转，则不会出现扭转波动，绳索就更有可能旋转和滑动，导致形成的扭结就没有那么牢固。
　　他们还发现，如果一个扭结含有更多的“循环”，那么它也可以变得更牢。在这里，“循环”的意思是扭结中存在的两股平行的线在相反的方向相互缠绕，就像一个循环一样。
　　通过总结这些简单的计数规则，研究人员终于能够解释为什么缩帆结比外平行结更牢。虽然这两个扭结看上去几乎相同，但缩帆结的扭转波动数更大，因此它有更稳定的结构。
　　如果说过去我们只能凭经验为不同的场景挑选出最合适的扭结，现在我们可以通过科学的分析方法来得出答案了。