关于调和函数的一些性质

Posted 2020-11-24 analysis-pde

以下均为10年前讨论的一些内容，或者更早一些。

问题1.考虑调和函数  $-Delta u=0 in R^n$,  $ngeq2$, 且$u(x)geq -(1+|x|)^{alpha}$, 其中$alphain(0,1)$, 证明: $u$必为常数。

证明:(1) 考虑直接对$u-inf_{B_{2R}}u$在$B_R$上使用Harnack 不等式，则

$$sup_{B_{R}}u-inf_{B_{2R}}uleq C(u(0)-inf_{B_{2R}}u).$$

那么

$$sup_{B_{R}}uleq C|u(0)|+(1-C)inf_{B_{2R}}uleq leq C|u(0)|+(C-1)(1+2R)^{alpha},$$

这样就有  

$$sup_{B_{R}}|u|leq C|u(0)|+C(1+2R)^{alpha}$$

最后用调和函数的梯度内估计就可以得到结论了。

(2)第二种方法是利用平均值公式推导梯度估计的方法，并结合积分中值定理即可知道$ abla u equiv 0$. 具体细节见  Oleinik的《偏微分方程讲义》，当然本问题还可以推广控制的阶数。

问题2.考虑二维情形的 全平面 下调和函数 上有界，则必为常数。具体如下:

$$uin C^2(R^2), -Delta uleq0 in R^2, suplimits_{R^2}u=0, then uequiv 0. $$

证明:  第一种情形：如果$u(0)=0$, 由强极值原理可知结论成立。

          第二种情形：如果$u(0)=-m<0$，以下证明 这不可能发生。

          由连续性可知，存在$delta>0$使得， $forall  |x|leq delta, u(x)leq -frac{m}{2}<0$, 然后在外部考虑使用基本解构造的闸函数。 对任意的$epsilon>0$, 取

$$v_{epsilon}(x)=-frac{m}{2}+epsilon ln(frac{|x|}{delta}),$$

由比较定理容易知道 $uleq v_{epsilon}$ in $R^2{x:|x|>delta}.$

最后令 $epsilon ightarrow0+$可知，  

$$uleq -frac{m}{2}   mbox{ in}   {x:|x|>delta}.$$

 这样就会有  $uleq -frac{m}{2}$ in $R^2$,  这与假设$suplimits_{R^2} u=0$相矛盾。Q.E.D.

 问题3. 考虑调和函数  $-Delta u=0 in R^n$,  $ngeq2$, 且$u(x)in L^p(R^n)$, $p>0$，则$uequiv 0$.

证明: $pgeq 1$时，只需要用均值公式和Holder不等式，至于其他情形可考虑内插或者直接使用Moser迭代的局部极值原理。 Q.E.D.

 问题4. 关于有界调和的可去奇性的问题。引入Capacity来描述，并利用Haussdorff测度来直观判定。

 问题5. 关于有界调和的孤立点奇性的Bocher定理。

问题4、5是值得深究的，它们可以推广到其他椭圆、抛物方程上去。