一些线性代数结论的证明/记录

Posted 2020-11-24 weiyanpeng

瞎写的一些东西，会不定期更新，就暂时鸽在这。

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Vandermonde 矩阵的行列式

结论是 (|A| = sum _{i<j} a_j - a_i)

考虑已经归纳出来 (n-1) 行的行列式 ， 现在想要归纳出 (n) 行的是 (T)。

考虑第一行的代数余子式：
[ egin{aligned} &sum _t (-1)^{t-1} prod _{1le i<jle n & i,j e t} (a_j - a_i) * prod_{j e t} a_j =&frac {T *prod 0-a_j}{prod a_t-a_j} end{aligned} ]

考虑这个东西：
[ sum frac {prod _{j e i}0-a_j}{prod _{j e i}a_i - a_j} ]
和拉格朗日插值很像。

把 (0) 变成 (x) ， 这个东西就是点值为 ((a_i, 1)) 的多项式， 显然插值结果是 (1) 。

于是证明完毕。