CodeForces - 655E dp+贪心

Posted 2020-11-24 6262369sss

题目链接：cf崩了，so。

参考博客：https://blog.csdn.net/kyleyoung_ymj/article/details/51628238

补题。

题意：

每个样例输入两行，第一行输入两个数字n，k，第二行输入一个字符串，你可以在第二行输入的字符串后面增加n个字符（k代表字符范围，比如k=2，那么你选择的字符有a，b；如果k=4，那么你可以选择的字符有a，b，c，d，就是从字符a开始的k个字符是可选择的）。你要使输入字符串在后面增加n个指定范围的字符之后得到的字符串的子序列数目最多，输出最大的子序列数量。记得还要包括一个空串。

子序列是可以不连续的。

 

 

仅供参考，错了请指正。

这里我们假设用一个二维数组dp[i][j]表示到位置i（第i个字符）为止，以字符 j+‘a‘ 结尾的的子序列数量。

那么假设现在我们要在第i个位置上放一个字符 j ，那么我们应该更新dp[i][j]的值。

假设sum表示的是所有的dp[i-1][j]（0<=j<k）的和，那么dp[i][j]=（sum+1）%mod；

这时的dp[i][j]可以分解为dp[i-1][j]+（sum-dp[i-1][j]）+1；

那么在位置i增加字符 j之后，就导致以字符 j结尾的子序列增加了（sum-dp[i-1][j]）+1个了。

其实就是所有不以 j 字符结尾的子序列数量加1，那为什么是增加这么多呢？？

我们来一个例子，现在在字符串aabac后面增加一个字符a，在加字符a之前，我们有以下子序列

以a结尾的：a，aa，ba，aaa，aba，aaba；

以b结尾的：b，ab，aab；

以c结尾的：c，ac，bc，aac，abc，bac，aaac，aabc，abac，aabac；

 

好，现在我们要在后面加一个字符 ‘a‘ 了，在这之前，我们不妨给上面的所有子序列再按照另一种分类来排列一遍（加了一个空串）：

1.空串，a，aa，aaa
2.b，ba
3.ab，aba
4.aab，aaba
5.c
6.ac
7.bc
8.aac
9.abc
10.bac
11.aaac
12.aabc
13.abac
14.aabac

这里的每一行的前面的字符串在增加字符‘a‘之后就变成了后面的字符串，也就是说前面的字符串是后面字符串的前缀。

也就是说除了每一行的最后一个字符串（子序列）------>>它增加字符a之后会导致以a结尾的子序列增加1，前面的所有的子序列加上字符a之后得到的子序列实际上都是已经出现过的，即已经计算在dp[i-1][j]中了，而不是因为位置 i 上增加字符a之后带来的。上面的每一行都只会增加一个新的子序列。现在我们再来看上面加粗的那四行，这四行的第一个子序列要么不是以字符a结尾，要么就是空串（第一行有"空串"两个字......），那么我们是不是可以用第一个子序列来替代整个一行子序列，也可以说是用每行的第一个子序列来代替这一行的最后一个子序列，这样我们就去掉了所有以a结尾的子序列带来的影响，而将它转化为了所有不以字符a结尾的子序列带来的影响，当然，还包括一个空串。上面有14行，在字符串aabac后面增加一个字符a之后，增加的子序列就是14个。

所以dp[i][j]=dp[i-1][j]+（sum-dp[i-1][j]）+1。

计算完dp[i][j]之后，这个时候sum实际上应该更新了，因为dp[i-1][j]变成了dp[i][j]

此时 sum=（sum-dp[i-1][j]+dp[i][j]）=sum-dp[i-1][j]+（sum+1）=2*sum-dp[i-1][j]+1；

在我们增加字符 j 的时候，为了使sum的值最大，我们肯定是要挑一个dp[i-1][j]的值最小的啦，这个好像叫贪心...

最后，对于已经给出的字符串，我们直接用上面的公式计算就可以了，而对于字符串后面要增加的n个字符，我们每次都找到一个字符 j ，它的dp[i-1][j]的值最小，这样根据上面的公式就可以使sum一直保持最大了，然后因为要取模，所以我们不可以直接比较大小，而是应该记录字符 ‘a‘ 到字符 ‘a ‘+k每一个字符最后出现的位置，找出现位置最小的那个字符加到字符串最后，因为位置最小的肯定是值最小的。

代码（变成一维的了）：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<deque> 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define eps 1e-8
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 2000005
const int mod=1e9+7;
ll n,m,k,t;
char str[maxn];
ll dp[26];//存以每一个字符结尾的子序列的数量 
int last[26];//存每一个字符最后出现的位置 
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    scanf("%s",str+1);
    memset(last,0,sizeof(last));
    int len=strlen(str+1);
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=len;i++){//处理输入的字符串 
        int id=str[i]-‘a‘;
        last[id]=i;//更新最后出现的位置 
        ll pre=dp[id];//把位置在i-1时的dp[id]暂时存一下 
        dp[id]=(sum+1+mod)%mod;//更新dp[id] 
        sum=(sum-pre+dp[id]+mod)%mod;//更新sum 
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){//增加n个给定范围的字符 
        int Min=INF;// 找最小的位置 
        int id;//存位置最小的字符 
        for(int j=0;j<k;j++){
            if(last[j]<Min){
                Min=last[j];
                id=j;
            }
        }
        last[id]=i+len;//更新最后出现大的位置 
        ll pre=dp[id];//把位置在i-1时的dp[id]暂时存一下 
        dp[id]=(sum+1+mod)%mod;//更新dp[id] 
        sum=(sum-pre+dp[id]+mod*2)%mod;//更新sum 
    } 
    printf("%lld
",sum+1);//最后结果加1，因为还有一个空串 
    return 0;
}