每日一题_191208

Posted 2020-11-24 math521

设(F_1,F_2)是椭圆(dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左右焦点,点(P)在椭圆上, 且(angle F_1PF_2=dfrac{pi}{3}), ( riangle F_1PF_2)的外接圆的半径与其内切圆半径之比为(2:1).
((1)) 求椭圆的离心率(e);
((2)) 设(AB)是椭圆垂直于(x)轴的弦,(C)的坐标为((3,0)),直线(BC)与椭圆交于点(E),若直线(AE)恒过定点(left(dfrac{4}{3},0 ight)),求椭圆的方程.

解析:
((1)) 设( riangle F_1PF_2)的外接圆和内切圆半径分别为(R,r),设(c)为椭圆的半焦距,则由正弦定理可知[ R=dfrac{1}{2}cdot dfrac{|F_1F_2|}{sin angle F_1PF_2}=dfrac{2sqrt{3}c}{3}.]
由椭圆焦点三角形面积公式可知,( riangle F_1PF_2)的面积[ S_{ riangle F_1PF_2}=b^2 andfrac{angle F_1PF_2}{2}=dfrac{sqrt{3}}{3}b^2=dfrac{sqrt{3}}{3}(a^2-c^2).]
易知( riangle F_1PF_2)的周长为[ L_{ riangle F_1PF_2}=|PF_1|+|PF_2|+|F_1F_2|=2(a+c).]
由等面积法计算得( riangle F_1PF_2)的内切圆半径长为[ r=dfrac{2S_{ riangle F_1PF_2}}{L_{ riangle F_1PF_2}}=dfrac{sqrt{3}}{3}left(a-c ight).]又由(R:r=2:1)可得[ e=dfrac{c}{a}=dfrac 12.]
((2)) 法一 如图,连接(AC),由于(A,B)关于(x)轴对称,因此直线(BC)和(AC)也关于直线(x)轴对

称,从而(AC)与椭圆的另一个交点(M)也与(E)关于(x)轴对称,所以(M,G,B)三点共线.其中(G)的坐标为[Gleft(dfrac{4}{3},0 ight),]
结合((1))可设椭圆方程为(dfrac{x^2}{4t}+dfrac{y^2}{3t}=1),其中(t>0).则(C)点位于(G)点关于椭圆的极线[x=3t]上.而(C(3,0)),所以(t=1),于是可得所求椭圆方程为(dfrac{x^2}{4}+dfrac{y^2}{3}=1).
法二

设待求椭圆方程为(dfrac{x^2}{4t^2}+dfrac{y^2}{3t^2}=1),其中(t>0),则(A,B,E)三点坐标可记为
[ egin{split} &Aleft(2tcosalpha,-sqrt{3}tsinalpha ight) , &Bleft(2tcosalpha,sqrt{3}tsinalpha ight), &Eleft(2tcoseta,sqrt{3}tsineta ight). end{split} ]
由于(BE)直线的(x)截距为(3),因此由截距坐标公式可得
[ egin{split} 3&=dfrac{2tcosalphacdot sqrt{3}tsineta-2tcosetacdotsqrt{3}tsinalpha}{sqrt{3}tsineta-sqrt{3}tsinalpha} &=dfrac{2tsinleft(eta-alpha ight)}{sineta-sinalpha} &=dfrac{2tcosdfrac{eta-alpha}{2}}{cosdfrac{eta+alpha}{2}}. end{split} ]
同理,由直线(AE)的(x)截距为(dfrac{4}{3}),可得[ dfrac{4}{3}=dfrac{2tcosdfrac{eta+alpha}{2}}{cosdfrac{eta-alpha}{2}}.]将以上两式相乘可得$
4=4t^2$,从而解得 (t=1) ,于是所求椭圆方程为 (dfrac{x^2}{4}+dfrac{y^2}{3}=1).