泛函的极值

Posted 2020-11-24 wghou09

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极值的概念

函数 (f(x)) 在 (x_0) 处取得极小值，是指当 (x) 在 (x_0) 点及其附近 (|x - x_0| < varepsilon) 时，恒有

(f(x) ge f(x_0))

若有

(f(x) leq f(x_0))

则称函数 (f(x)) 在 (x_0) 点取极大值。

函数 (f(x)) 在点 (x_0) 处取得极值的必要条件是在该点处的导数为 0，即

(f'(x) = 0)

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泛函的极值必要条件

仿照函数极值必要条件的到处方法，得到泛函取得极值的必要条件。 首先，设所考虑的变量函数均通过固定的两个端点：

(y(x_0) = a, qquad y(x_1) = 0)

即

(delta y(x_0) = 0, qquad delta y(x_1) = 0)

考虑泛函的差值

[J[y + delta y] - J[y] = int^{x_1}_{x_0} [ F(x, y + delta y, y' + (delta y)') - F(x, y, y')] dx]

当函数的变分 (delta y) 足够小时，可将上式进行泰勒展开，有

[egin{align} J[y + delta y] - J[y] &= int^{x_1}_{x_0} left{ [delta y frac{partial}{partial y} + (delta y)' frac{partial}{partial y'}]F + frac{1}{2!} [delta y frac{partial}{partial y} + (delta y)' frac{partial}{partial y"}]^2 F + cdots ight} dx&= delta J[y] + frac{1}{2!} delta^2 J[y] + cdots end{align} ]

其中，
[delta J[y] equiv int^{x_1}_{x_0} [frac{partial F}{partial y} delta y + frac{partial F}{partial y'}(delta y)']dx]

是泛函 (J[y]) 的一级变分。

泛函 (J[y]) 取极小值的必要条件是泛函的一级变分为 0，即：
[delta J[y] equiv int^{x_1}_{x_0} [frac{partial F}{partial y} delta y + frac{partial F}{partial y'}(delta y)']dx = 0]

将上式积分中的第二项分部积分，同时代入边界条件，有
[egin{align} delta J[y] &= frac{partial F}{partial y'} delta y|^{x_1}_{x_0} + int^{x_1}_{x_0} [frac{partial F}{partial y} delta y - frac{d}{dx}frac{partial F}{partial y'}delta y]dx &= int^{x_1}_{x_0} [frac{partial F}{partial y} - frac{d}{partial x}frac{partial F}{partial y'}] delta y dx = 0 end{align} ]

由于 (delta y) 的任意性，可以得到
[frac{partial F}{partial y} - frac{d}{partial x}frac{partial F}{partial y'} = 0]

这个方程为 Euler-Lagrange 方程，它是泛函 (J[y]) 取得极小值的必要条件的微分形式。

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数学知识补充

• 泰勒展开

• 分部积分