微分 - 偏导 - 等等

Posted 2020-11-24 wghou09

在一些数学公式的推导中，常会遇到 (d) / (partial) / (delta) ?(Delta) 等符号。它们背后分别代表的数学含义？

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增量

设变量 (u) 从它的一个初值 (u_1) 变到终值 (u_2)，终值与初值的差 (u_2 - u_1) 就叫做变量 (u) 的增量，记作 (Delta u)，即
[Delta u = u_2 - u_1]
增量 (Delta u) 可以是正的，也可以是负的。

应该注意到：记号 (Delta u) 并不表示某个量 (Delta) 与变量 (u) 的乘积，而是一个整体不可分割的记号。

举例：
现在假定函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 的某一个邻域内是有定义的。当自变量 (x) 在这个邻域内从 (x_0) 变到 (x_0 + Delta x) 时，函数值（或因变量） (f(x)) 相应地从 (f(x_0)) 变到 (f(x_0 + Delta x))，因此，函数值（或因变量） (f(x)) 的对应增量为
[Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)]
习惯上也称 (Delta y) 为函数的增量。

由此，可以定义函数的连续性，如下：

设函数 (y = f(x)) 在点 (x_0)) 的某一个邻域内有定义，如果
[lim_{Delta x o 0} Delta y = lim_{Delta x o 0} [ f(x_0 + Delta x) - f(x_0) ] = 0 quad ，]
那么就称函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 连续。

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导数

导数的定义： 设函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 的某个邻域内有定义，当自变量 (x) 在 (x_0) 处取得增量 (Delta x) （点 (x_0 + Delta x) 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 (Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0))；如果 (Delta y) 与 (Delta x) 之比当 (Delta x o 0) 时的极限存在，那么称函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 处可导，并称这个极限为函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 处的导数，记为 (f'(x)) ，即
[f'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x} = lim_{Delta x o 0} frac{f(x_0 + Delta x) - f(x_0)}{Delta x} quad ,]
也可记作 (y'|_{x = x_0})，$(frac{dy}{dx}|_{x = x_0}) 或 (frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0})。

可以看出，导数等于 增量 (Delta y) 和增量 (Delta x) 比值的极限。

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函数的微分

微分的定义： 设函数 (y=f(x)) 在某区间内有定义，(x_0) 及 (x_0 + Delta x) 在这个区间内，如果函数的增量
[Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)]
可表示为
[Delta y = A Delta x + it{o}(Delta x)]
其中，(A) 是不依赖于 (Delta x) 的常数，那么，称函数 (y=f(x)) 在点 (x_0) 是可微的，而 (ADelta x) 叫做函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 相应于自变量增量 (Delta x) 的微分，即
[dy = A Delta x]

注： 函数 (f(x)) 在点 (x_0) 可微的充要条件是函数 (f(x)) 在点 (x_0) 可导。

微分的意思是指，因变量的增量 (Delta y)，是自变量的增量 (Delta x) 的线性函数，且记作 (dy)。所以说，应该有如下关系：
增量 (Delta y) 是实实在在、真实的变化值。只是，只有当可导的时候，才能写成 (Delta y = A Delta x + it{o}(Delta x) = dy + it{o}(Delta x) = dy + it{o}(dy)) 。也就是说，微分，只是增量 (Delta y) 的一个近似值。

另外一点，在定义导数的时候，也是用增量 (Delta y) 与 (Delta x) 的比值来定义的，并不是用微分。只是，导数的值，刚好等于微分 (dy) 与 (dx) 的比值。

注二： 通常把自变量 (x) 的增量 (Delta x) 称为自变量的微分，记作 (dx)，即 (dx = Delta x)。于是，函数 (y = f(x)) 的微分又可记作为
[dy = f'(x) dx]
从而有
[frac{dy}{dx} = f'(x)]
这就是说，函数的微分 (dy) 与自变量的微分 (dx) 之商等于该函数的导数，因此，导数也叫作“微商”。

微分的几何意义