HDU6216 A Cubic number and A Cubic Number 和 广工的加强版

Posted 2020-11-24 ayanowww

题目传送门_杭电版

题目传送门_广工版

广工版的是杭电版的加强版。

题意：判断一个质数是否是两个整数的立方差 ---- 数学题

题解：

根据立方差公式：(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2))

且 p 为质数

所以 ((a - b)(a^2 + ab + b^2)) 其中任意一括号为 1，另一括号则为 p。

经计算检验（这里就不写啦），得 ((a - b) = 1)，((a^2 + ab + b^2) = p) 。

因为((a - b) = 1)，所以两个整数a，b必然是相邻的，且通过计算，1e6的立方减去 999,999的立方已经大于1e12。

因此可以开个保存两个相邻整数的立方差，大小为1e6的数组保存立方差的值，然后用二分搜索该数组就可以。

但是！

广工版的题目 p 的范围是1e15，要使得立方差为1e15得要开到1e7的立方，这样就会爆long long。所以上述方法已经不够用了。

让我们回到 ((a - b) = 1)，((a^2 + ab + b^2) = p) 这条式子。

根据前一条式子可以把后面一条式子化成： (3b^2 + 3b + 1 = p)

把 b 当作未知量，把 p 当作常数，可把式子堪称一元二次方程了，可以弄出

(Delta = 12p - 3)

然后根据求根公式可以写成：$ b = frac{-3 pm sqrt{12p - 3}}{6}$

所以只需要验证两个条件：

1.(12p - 3) 开方后是一个整数

2.(12p - 3) 开方后 - 3 能否被 6 整除就可以了（因为b是正整数）

// 杭电原题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6216
// 广工加强题：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3036/K
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
int T;
LL p, ans[9000006];


void init(){
    for(LL i = 2; i <= 9000000; i++){
        ans[i - 1] = i * i * i - (i - 1) * (i - 1) * (i - 1);
    }
}

bool check(LL p){
    double a = sqrt(12 * p - 3);
    long long b = sqrt(12 * p - 3);
//    printf("a - b:%.16f, b:%lld
", a - b, b);
    if(a - b < 0.000001 &&((b - 3) % 6 == 0) return true;
    else return false;
}

int main()
{
    // 搜索做法
    init();
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%lld", &p);
        bool ok = false;
        int left = 1, right = 1000000;
        while(left <= right){
            int mid = (left + right) / 2;
            if(ans[mid] == p) { ok = true; break; }
            else if(p < ans[mid]) right = mid - 1;
            else left = mid + 1;
        }
        if(ok) printf("YES
");
        else printf("NO
");
    }

    // 数学解法
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%lld", &p);
        if(check(p)) printf("YES
");
        else printf("NO
");
    }
    printf("i:%d num:%lld
", 9000000, ans[8999999]);
    return 0;
}