海明码一篇文章彻底搞懂

Posted 2020-11-24 godoforange

海明码学习前提

记住几个要点：

1. 不要用异或套用公式！！！！题目随便变几个变死你！
2. 看完这篇博客不要看别的博客！！！！别的人瞎写的坑死你

学习海明码之前，我们要约定3个原则：

1. 海明码只能检测出2位错，纠1位错(因此不要问如果3位错怎么办等幼稚问题)。
2. 海明码默认进行偶校验(除非特殊说明使用奇校验)。
3. 海明码是一串由0和1组成的序列(除01外没有其他的值，记住了！这是重点)

如果下面有任何无法理解的问题，反复看上面三个原则，下面再也不赘述。

前提：奇偶校验

奇校验：这串序列1的个数如果为偶数则在前面加个1，使1的个数变成奇数，否则加0。
偶校验：这串序列1的个数如果为奇数则在前面加个1，使1的个数变成偶数，否则加0。

例子：1111 奇校验就是 11111 偶校验就是 01111
1110 奇校验就是 01110 偶校验就是 11110

特性是检测一位错，无法纠错。

概述：海明码的构成

例如如下序列：
1100
我们想要让其变成海明码只需如下操作

1.算出校验位数k

正常情况下我们需要如下此操作：

2^k >= k + 数据位数 + 1

这里等于3

2.确定校验位在海明码中的位置

这里按2^k次幂留出来，就像1，2，4，8，16，32。（如果问有5位等其他烦人的数据位怎么办后面我会说，先按4位数做）

H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
1	1	0		0

3.分组（重点，很多人蒙圈就在此）

我们需要确认H1,H2,H4这三个校验位都来校验哪些位置。
我们按这个规则进行分配。

将1,2,4（海明码下标为1,2,4）

的二进制码写出来，并且最高位补到3位(前面算的K数)
如下所示：

1	2	4
001	010	100

然后我们将0替换为*，作为通配表。

1	2	4
**1	*1*	1**

我们将1到7的二进制序列，列出来如下表

7	6	5	4	3	2	1
111	110	101	100	011	010	001

！！！重点！！！！

我们将7->1依次与上面的通配表进行匹配

1	2	4
**1	*1*	1**
001（1）	010（2）	100（4）
011（3）	011（3）	101（5）
101（5）	110（6）	110（6）
111（7）	111（7）	111（7）

因此我们可以确定
H1 负责 1 3 5 7 位数的校验
H2 负责 2 3 6 7 位数的校验
H4 负责 4 5 6 7 位数的校验

4.求出校验位是0还是1

因为上面我们得出以下结论：

H1 负责 1 3 5 7 位数的校验
H2 负责 2 3 6 7 位数的校验
H4 负责 4 5 6 7 位数的校验

那 根据

H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
1	1	0		0

这张表，我们根据偶校验很容易就求出以下结论：
H3,H5,H7 1的个数为奇数 因此H1=1
H3,H6,H7 1的个数为偶数 因此H2=0
H5,H6,H7 1的个数为偶数 因此H4=0
至此我们得出了完整的汉明码

H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
1	1	0	0	0	0	1

5.查错

查错比较简单，如果以下三组
既
H1,H3,H5,H7
或者
H2,H3,H6,H7
或者
H4,H5,H6,H7
偶校验出错，则出错。

比方说 如果 H1,H3,H5,H7由1100 变成了 1110 （1的个数为偶数）就是出错了

这里该不赘述

6.纠错

首先我们先理解以下为什么海明码能纠错。
首先我们先画个圆。然后按如下形式做交叉

在每个相邻部位，我们做相加处理

变成了如下形式

当我们如果发现偶校验出错，
比方说在 1 3 7 5 这个区域出错。

如果这个位置出错了，那么一定是 1 3 7 5 这四个位置中的一个位置出错(如果俩位出错则无法纠错，这个点一定要记住)
如果此时其他的俩个组 即：2，3，6，7 和 4，5，6，7偶校验都通过了的话。
也就证明只可能是1出错
所以我们可以将 1 的位数 做修改。如果是0变为1，如果是1变为。来达到纠错的目的。

但是如果2，3，5，7这个位置也出错了，4，5，6，7这个位置没有出错。
我们很容易就推导出，是 3 这个位置出错了。

我们就可以修改3的值，如果是0变为1或者如果是1变为0.

在此时我们会发现一个巧妙的规则！
当我们把1，3，5，7 设为P1,
2,3,6,7设为P2
4,5,6,7设为P3时

当如果哪组校验失败就为1

P3	P2	P1	出错(第几)位数
0	0	1	1
0	1	0	2
0	1	1	3
1	0	0	4
1	0	1	5
1	1	0	6
1	1	1	7

刚好是对应的二进制编码。就是这么绝。

其实学完海明码之后，我真的觉得人家实在是太聪明了。

5位数数据

至此，其实如果认真看上面的部分，大家已经可以理解海明码是如何实现的了。
但是我还是再带大家写一次。这种5位数的。关键在于如何分组！！！！！

比方说
10001

先求出校验位数：

2 ^ k > = k + 5 + 1
则 k = 4

画出表格

将1，2，4，8位置空出来，再将数据位填进去

H9	H8	H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
1		0	0	0		1

分组(*为通配符)

8	4	2	1
1***	*1**	**1*	***1
8,9	4,5,6,7	2,3,6,7	1,3,5,7,9

偶校验每个分组得出结果

H9	H8	H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
1	1	0	0	0	0	1	1	0

总结

如果还有人不懂，请仔仔细细跟着我走一遍。本人保证此思路是绝对正确的。

给我讲懂的老师是哈工大刘宏伟（MOOC课上有）
所教的是计算机组成原理
谢谢您老师
。