dp-最优矩阵链乘

Posted 2020-11-24 smsylby

来自于紫书

题目大意

有(n)个矩阵组成的序列，设计一种运算顺序把它们依次乘起来，使得总运算量最小。假设第i个矩阵(A_i)是(P_{i-1} imes P_i)的。（(n<=100)）

例如：假设(A)、(B)、(C)分别是(1 imes 50 , 50 imes 20 , 20 imes 5)

(A imes (B imes C))的运算量为(1 imes 50 imes 5 + (50 imes 20 imes 5) = 5250)

((A imes B) imes C)的运算量为((1 imes 50 imes 20) + 1 imes 20 imes 5 = 1100)

显然后者更优

解法

最后一次乘时整个矩阵序列一定是被分成两半，假设分界点是(k)

即(L = A_1 imes A_2 imes ... imes A_k)，(R = A_{k+1} imes A_{k+1} imes ... imes A_n)

无论(L)和(R)的内部怎样乘，最后(L imes R)的运算量都是不变的

故可以让(L)和(R)按各自最优方案计算，最后再加上(L imes R)的运算量即可

所以可以设(f(i,j))表示第(i)个矩阵到第(j)个矩阵乘起来所需的最少的运算量，转移方程为：

(f(i,j) = min{ f(i,k) + f(k+1,j) + P_{i-1} imes P_k imes P_j } ( i <= k < j))

边界(f(i,i) = 0)，因为转移方程中(k >= i)，(k < j)，所以(dp)的顺序为(i)递减，(j)递增

模板题：Poj-1651 Multiplication Puzzle

如果没看过矩阵链乘题目的话，估计一时半会还想不出这道题