「总结」插头$dp$

Posted 2020-11-24 lrefrain

集中做完了插头$dp$

写一下题解。

一开始学的时候还是挺蒙的。

不过后来站在轮廓线$dp$的角度上来看就简单多了。

其实就是一种联通性$dp$，只不过情况比较多而已了。

本来转移方式有两种。逐行和逐格转移。

不过逐行转移因为分类太多所以被舍弃了。

一般的插头$dp$采用逐格转移。

插头表示已经进入当前格子的状态，而并不是将要进入的状态。

状态的表示方式常见的有两种：最小表示法和括号表示法。

括号表示法不如说是广义括号表示法的特殊一种情况，每个插头也就是左右括号就是表示两个相匹配的回路部分，而最小表示法则是一般的广义括号匹配，只是括号只是单纯的表示一条线路的两端。

 

1.$Ural 1519 Formula 1$

括号表示法裸题。

设两个插头，1表示左括号，2表示右括号。

分一下类就可以了。

0.0 如果是障碍格子就直接转移，如果是普通格子就可以开两个新的左右括号。

下面的讨论均在非障碍格子下。

0.1|0.2|1.0|2.0 将插头下移或者右移。

1.1|2.2 首先将两个插头消除，找到其中一个插头匹配的插头，并将之改成这两个插头。

2.1 消除插头。

1.2 在最后一个非障碍格子更新答案。

 

2.$CITY$

跟上一题一模一样，不过是限定了转移的方向而已。

 

3.邮递员

仍然是括号表示法。

其实和第一题仍然没什么区别，就是要遍历所有的地方，并且形成回路，注意到回路的顺逆时针走向是不同方案，所以最后答案*2。

 

4.地板

这个就是最小表示法了。

设两个插头1,2分别表示没拐过和拐过弯的$L$形状,要求没有障碍物的部分都铺砖。

那么开始分类讨论。

如果有障碍物：只有0.0这种状态可以转移到下一个格子。

如果没有障碍物：

0.0 -> 1.0|0.1|2.2 表示当前点伸出能够从两个方向伸出两个可以拐弯的，或者根本就把这个点当作转折点，那两个方向都不可以拐弯。

0.1 -> 0.1|2.0

1.0 -> 1.0|0.2

0.2 -> 0.2|0.0 如果没有其他插头，并且在最后一个非障碍格子可以更新答案。

2.0 -> 2.0|0.0 如果没有其他插头，并且在最后一个非障碍格子可以更新答案。

1.1 -> 0.0 两个没拐弯的匹配上了。

2.2 -> 无法转移

1.2 -> 无法转移

 

5.标识设计

其实和上一个题几乎一模一样。

只不过在最后添加一维表示当前已经出现了的$L$有几个。

如果已经出现了的有$3$个并且当前这个格子可以作为其中某一个的结束位置，那么更新答案。

 

6.神奇游乐园

和第一题一模一样就是把求方案改成了求最值。

 

7.$Manhattan Wiring$

这个题由于确定了起点和终点，所以不需要用到括号匹配。

只用两个插头表示是哪个线的插头即可。

 

8.$ParkII$

看起来是括号匹配，其实是最小表示法

和神奇游乐园大体上一样，是CDQ的论文题了。

我们考虑新加入一个独立插头表示一条独立的路径，

由于这次要求路径，所以会麻烦一点，这里的左右括号就不仅仅表示回路的两头了，而是表示一条路径的两头，这就是所谓一般性广义括号表示法，也就是最小表示法。

左右括号转移大体上和神奇游乐园一样。

多出来的独立插头设为3。

多出来的转移就是：

0.0 -> 0.3|3.0

0.3|3.0 -> 0.3|3.0 如果只有一个插头的话就可以更新答案了。

3.1|3.2|1.3|2.3 -> 0.0 清空当前两个括号，然后把1或者2对应的括号改为3。

3.3 -> 如果只有这两个括号的话就可以更新答案了，不转移。

 

暂时这么多。