数据结构 树（下）

Posted 2020-11-24 yinminbo

数据结构 树（下）

 

一、概述

　　AVL树、伸展树、红黑树搜索树算法保证最坏情况或者一系列操作情况下，搜索、插入和删除的操作的时间复杂度是O(logn)。本文主要内容包含：平衡搜索树中的AVL树、伸展树、（2,4）树、红黑树 和（a，b）树、B树等实际运用的树数据结构。

二叉搜索树的删除

二、AVL树

1、基本知识

1、AVL树是维持对数O(logn)的高度的特殊二叉搜索树。“高度”指根节点到叶子节点最长路径上的节点的数量。“None”的孩子的高度是0，叶子节点的高度是1，父节点是叶子节点的高度加1

2、AVL树具有 高度平衡属性：对于树T的每个位置P，P的孩子的高度最多相差 1。AVL树子树也是一颗AVL树！

3、一个高度为h（h≥3）的拥有最少节点的AVL树，必须有两颗子树：一颗高度 h-1，另一颗高度为 h-2：n(h)=1+n(h-1)+n(h-2) h≥3 (n(1)=1、n(2)=2)

4、AVL树的高度h和节点总数n的关系：h < 2log n +2

5、AVL树平衡因子是指位置p的两颗子树高度差（左树减右树/右树减左树），平衡因子的绝对值不大于1。

2、更新操作

1、插入，AVL树在叶子节点产生一个新的节点插入新节点p，导致p的祖先节点不满足高度平衡属性，通过trinode重组，两次“旋转”重建树T，使其满足AVL树的高度平衡属性

2、删除，AVL树删除操作导致一个节点拥有或一个孩子，导致树不满足AVL树的高度平衡属性，

3、更新后不满足高度平衡属性的树通过“旋转”：不满足高度平衡属性的节点p需要“旋转”。如果p的孩子节点和子孙节点（非叶子节点的子孙节点）都是左孩子或右孩子，单次旋转，否则trinode重组，从而满足高度平衡属性。如果左、右子孙节点都不是叶子节点，平衡操作是不唯一的！可以单次旋转，也可以 trinode 重组。如果单次旋转和trinode重组都能满足操作，优先进行单次旋转！注：有些子树是维持不变的（static），可以快速确定平衡树结构！

3、AVL树性能

1、标准的二叉搜索树的操作运行时间O(h)，AVL树是维持对数O(logn)的高度的特殊二叉搜索树，但是AVL树维护平衡因子和重组一颗AVL树的额外工作受树中路径长度的限制。

2、AVL树运行时间

4、AVL树Python实现

 

三、伸展树

1、基本知识

1、伸展树在树的高度上没有一个严格的对数上限。伸展树无须额外的高度、平衡或与此树节点关联的其他辅助数据。

2、伸展树的效率取决于某一位置移动到根节点的操作（伸展），每次在插入、删除甚至搜索都是从最底层的位置p开始。

3、伸展操作会使得被频繁访问的元素更快接近于根，从而减少典型的搜索时间。伸展树保障了混合插入、删除、搜素一系列操作的平均操作时间是对数运行的时间

2、伸展（重复操作伸展，知道节点x变成伸展树的根节点）

2.1、zig-zig型 z>y>x-----x>y>z    # y和x都在树的左边或者右边，祖先>父节点>子孙节点；父节点>左孩子+右孩子，位置x深度减少2层

2.2、zig-zag型 z>y>x----x>y+z    # y和x在树的位置相反，祖先>父节点>子孙节点；父节点>左孩子+右孩子，位置x深度减少2层

2.3、zig型 y>x------------x>y        # 父节点>孩子节点，位置x深度减少1层

3、伸展规则

3.1、当搜索键k时，如果在位置P出找到k，则伸展p。否则，在搜素失败的位置伸展叶子节点。存在叶子节点p的key是14并且p的父节点的key是16，没有节点的key是15，搜索14和搜索15都是伸展叶子节点p！

3.2、当插入键k时，伸展新插入的内部节点k

3.3、当删除键k时，在位置p进行伸展，其中p是被移除节点的父节点。del M[k]的两种情况：被移除节点有两种情况：一、移除节点是原来包含键k的节点；二、移除的节点是一个有替代键的后代节点（两个孩子，删除包含键k的节点原来的元素之后，又使用r=befor(p)元素代替p，p节点没有被删除只是替换节点，r节点才被删除，r节点的父节点才是p）。

3.4、位置p和父节点、祖父节点的关系按照zig-zig型、zig-zag型、zig型进行一次或多次伸展操作，直到位置p变为伸展树的根节点

4、伸展摊销分析

4.1、一个简单的zig-zig型、zig-zag型、zig型伸展影响常数数量级的节点，操作时间是O(1)。将位置p进行伸展需要多个伸展组合，如果位置p的深度是d，则将位置p伸展至根节点需要时间是O(d)，也就是从位置p的伸展所消耗的时间等同于从根节点到位置p自上而下的搜索！

4.2、最坏的情况：一颗高度为h的伸展树，进行搜索、插入、删除的全部运行时间是O(h)，h最大可能接近 n！

4.3、最坏的情况下，伸展树不是一个好的数据结构，但是一系列混合搜索、插入、删除操作中，平均每个操作所需要的时间仅仅是对数时间，在平摊的意义上，伸展树的性能良好！

 

四、（2,4）树（2-4或2-3-4）

1、基本知识

1、链式存储结构表示一般树（通用树），每个节点配置一个容器，该容器存储指向每个孩子的引用。二级映射：节点的children字段使用列表，表项是指向该节点孩子的引用。

2、使用通用树表示多路搜索树时，必须在每个节点存储一个或多个与该节点相关联的键值对。

3、多路搜索树：树T中每个内部节点w（d-node）至少有两个孩子(d≥2）；树T中的每个d-node w，其孩子c₁、c₂、c₃...c_d 按顺序存储 d-1 个键值对（k₁，v₁）、（k₂，v₂）..........（k_d-1，v_d-1）；定义：k₀=- ∞、k_d=+∞，每个条目（k，v）存储在一个以 C_i 为根的 w 的子树的一个节点上，其中 i=1,...,d，k_i-1≤ k ≤ k_i，- ∞≤ k ≤ +∞。

4、d-node w存有 d-1 个常规键，如果认为 d-node w 中键集合包含k₀=- ∞、k_d=+∞，那么存储在一个以 C_i 为根的 w 的子树上的键 k 一定是存储在w上的两个键（k₀=- ∞、k_d=+∞）“之间” 的一个。

5、一个有n个节点的多路搜索树有n+1个外部节点，多路搜索的外部节点不存储任何数据，仅仅作为占位符，以 None 引用表示！

6、（2,4）树是多路搜索树的一种特殊情况：大小属性：每个内部节点最多有4个孩子（d_max=4）；深度属性：所有外部节点具有相同的深度 

7、（2,4）树父节点使用一个无序列表或有序数组存储指向孩子节点的引用，因为d_max=4，所有的操作可以达到O(1)，

8、由大小属性，深度为h的树的外部节点4^h，由深度属性，至少有2^h个外部节点。（2,4）树：2^h ≤ n+1 ≤ 4^h >>> h ≤ log(n+1) ≤ 2h >>>   1/2 log(n+1) ≤ h ≤ log(n+1)

9、分裂操作：（2,4）树节点溢出时，将节点 w 分裂成两个节点 w^‘ 和 w‘‘。w^‘是 3-node，保存 2个常规键 k₁、k₂；w^‘‘是 2-node，保存 1个常规键 k₄；如果 w 是根节点，创建一个新的根节点 U，让 U 称为 w 的父节点，U是一个 2-node，保存 1个常规键 k₃；如果 w 不是根节点，分裂后的两个节点 w^‘ 和 w‘‘替代 w 称为父节点的两个子节点，并且在父节点新增加1个常规键 k₃这可能导致溢出传播到 w 的父节点！

10、转移操作：下溢时，节点 w 的兄弟节点 s 是一个 3-node 或者 4-node节点，将 s 的一个键转移到 w 的父节点 u 上，并将 u 的一个键移动到 w 。(根据位置和键的顺序选择合适的 k)

11、融合操作：下溢时，节点 w 的兄弟节点 s 都是 2-node 节点。创建一个新节点 w^‘ 将 ，w 的父节点 u 上的一个键和兄弟节点 s的一个键融合到w^‘ 。(根据位置和键的顺序选择合适的 k)

12、（2,4）树新的（k，v）插入是自下向上插入。w 是 4-node时，由于d_max=4 出现溢出情况，才会进行分裂，根据属性调整。否则（k，v）插入在叶子节点。

2、（2,4）树操作：插入、删除

1、插入：新的（k，v）插入到（2,4）树中，如果树 T 中没有键为k的节点，搜索停在外部节点z，令w指向外部节点z的父节点，在w上插入新的（k，v），并且在z的左边对w添加一个新的孩子节点y（外部节点）>>满足深度属性；如果插入前， w 已经是一个 4-node，即 w 存有 3 个常规键。由于d_max=4，增加节点y和新的键值对使得 w 不满足大小属性！即在节点 w 节点溢出。进行分裂操作，调节节点溢出的节点及其父节点的键和孩子节点，可能溢出会一直传播根节点从而创建一个新的根节点！

2、删除：情况一、删除键为k的节点的孩子节点全为None，而且该节点 d≥3，直接删除该节点。情况二、删除键为k的节点的孩子节点全为None，而且该节点 d=2，即该节点的键值对的键只有k，删除k>>不满足深度属性！即在节点 w 下溢。检查 w 的兄弟节点是否有一个 3-node 或者 4-node s，如果有，就进行转移操作；如果没有，进行融合操作。融合操作可能一直传播根节点，那根节点被删除！并融合产生新的根节点！

3、（2,4）树性能分析

1、（2,4）树的高度是O(logn)

2、（2,4）树的分裂操作、转移操作、融合操作的操作时间需要O(1)。

3、（2,4）树搜索、插入、删除一个节点需要访问O(logn)个节点

 

五、红黑树

1、基本知识

1、红黑树：一颗带有红色和黑色节点的二叉搜索树，具有属性：

　　根属性：根节点是黑色的；

　　红色属性：红色节点（如果有）的子节点都是黑色的；>>>>最短的可能路径都是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节！

　　深度属性：具有零个或一个子节点的所有节点都具有相同的黑色深度（被定义为黑色祖先节点（包含父结点,父结点的父结点...）的数量）;

　　所有的 NULL 叶子节点都是黑色

　　所有的 NULL 节点到根节点的路径上的黑色节点数量一定是相同的

2、红黑树：从任一节点到其叶子节点（null）的所有路径都包含相同数目的黑色节点。>>>>所有最长的路径都有相同数目的黑色节点！

3、红黑树通过对从根到叶子节点的路径中各个节点着色方式的限制（红色属性、），从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。

4、给定的一颗红黑树可以构建对应的（2,4）树：合并每一个红色节点 w 到它的父节点，从 w 存储条目到其父节点，并使 w 的子节点变得有序。

5、红黑树的深度属性与（2,4）树的深度属性相对应，每个红黑树的每个黑色节点查号对相应的（2,4）树的每个节点有贡献，所以可以将任意的（2,4）树改编成对应的红黑树。w 有 2-node、3-node、4-node

6、在 2-3-4 树上的插入和删除操作也等同于在红黑树中颜色翻转和旋转

7、红黑树的高度 h：log(n+1)-1 ≤ h ≤ 2 log(n+1)- 2；d=树T深度属性值，令T^‘为树 T 对应的（2,4）树，（2,4）树 T^‘的高度是 h^‘，有红黑树和（2,4）树对应关系得，h^‘=d。由（2,4）树性质得：d ≤  log(n+1)- 1，而且根据红色属性，h ≤ 2d >>> h ≤ 2 log(n+1)- 2；又有二叉树的性质得：log(n+1)-1 ≤ h。最后：log(n+1)-1 ≤ h ≤ 2 log(n+1)- 2

2、红黑树操作：插入、删除

2.1、红黑树插入

1、新插入的节点，如果是根节点，节点为黑色；否则新插入的节点默认为红色

2、红黑树新插入的（k，v），由于红黑树的是二叉树，增加新节点保存（k，v）。

3、新插入的节点（k，v）插入到（2,4）树，插入维持了（2,4）树的深度属性和大小属性，但是可能违反红黑树的红色属性

　　新插入的节点 x 的父节点 p 是黑色，直接插入！

　　节点 x 处的双红色：新插入的节点 x 的父节点 p 是红色。由节点 p 是红色，所以节点 p 不是根节点；由于原来树 T 满足红色属性，所以节点 p 的父节点 G 是黑色

　　3.1、 情况一、节点 p 的兄弟节点 s 是黑色或无：如果节点 x 的父节点 y都在树的左边或右边 单次旋转；如果节点 x 的父节点 y在树的相反边 trinode重组

                                                          单次旋转 着色                                                                                                                trinode重组 着色   

  

　　3.2、情况二、节点 p 的兄弟节点 s 是红色，节点 x 处的双红色表示在相应的（2,4）树 T^‘中溢出。红黑树重新着色相当于（2,4）树 T^‘的分裂操作。红黑树重新着色：将节点 p 和节点 s 着色为黑色，父节点 G 着色为红色（如果父节点 G 是根节点，父节点 G 还是黑色）注：上滤需要一个栈或者保持父链来实现，并且过程复杂！

注：双红问题在重新着色后，双红色会在树 T 更高位置出现，因为 G 可能还有一个红色的父亲节点 Gp。双红问题就从节点 x 传播到节点 G ，在节点 G重新考虑出现双红问题的两种情况！

一、自底向上插入

二、：自顶向下插入

                                              

/**
     * 自顶向下插入
     */
    public void insert( AnyType item ){
          nullNode.element=item;
          current=parent=grand=header;
          //自顶向下调整,避免插入的父节点和父节点的兄弟节点为黑色的情况，该情况复杂不利于恢复平衡信心.
          while(compare(item,current)!=0){
              great=grand;
              grand=parent;
              parent=current;
              current=compare(item,current)<0?current.left:current.right;
              if(current.left.color==RED&&current.right.color==RED){
                  handleReorientAfterInsert(item);
              }
          }
         
          if(current!=nullNode){//重复元素跳过
              return;
          }
          //找到位置
          //构建新的节点
          current=new RedBlackNode<AnyType>(item,nullNode,nullNode);
          //维护与父节点的关系
          if(compare(item,parent)<0){
              parent.left=current;
          }else{
 			  parent.right=current;
          }
          //插入完成后,维护平衡信息
          handleReorientAfterInsert(item);
          nullNode.element=null;
    }
/**
     * 插入后维护平衡信息
     * @param item
     */
    private void handleReorientAfterInsert(AnyType item) {
        //初步调整的变换颜色 自己变为红色，两个儿子变为红色
        current.color=RED;
        current.left.color=BLACK;
        current.right.color=BLACK;
        if(parent.color==RED){
            //调整后破坏了红黑树性质，需要旋转
            //分两种类型 一字形和之字形，之字形比一字形调整了多一步
            grand.color = RED;
            if((compare(item,grand)<0)!=(compare(item,parent)<0)){//之字形
                parent=rotate(item,grand);
                //调整parent和他的儿子，并将调整后的节点W设置成parent
            }
            //调整完成，重新设置当前节点
            current=rotate(item,great);
            //并将当前节点设置为黑色
            current.color=BLACK;
        }
        //保证根节点是黑色
        header.right.color=BLACK;
    }

2.2、红黑树删除

1、红黑树 T 中删除键 K 的项和二叉搜索树的删除过程相似。在结构上，删除至多有一个孩子的节点（或者是最初包含键 K 的节点 p 或者是节点 p 的前继节点），并提升其剩余的子节点

2、红黑树删除节点 p 是红色的==（2,4）树 T^‘表示为 3-node或4-node的转移操作，树的结构没有改变同时满足要求的属性！红黑树删除节点 p 是黑色的==（2,4）树 T^‘表示为 2-node 除去一个项目，树的结构发生改变！在结构上删除至多有一个孩子的节点，并提升其剩余的子节点！

3、删除操作归结于可以删除红色的树叶。一、如果要删除的节点有右儿子，以右儿子的最小元内容替换要删除节点内容，之后删除右儿子最小元来进行删除（最左项）。二、如果只有左儿子，以左儿子最大元内容替换要删除节点的内容，之后删除左儿子最大元（最右项）。三、如果要删除的节点没有儿子， 将该节点调整成红色，将父节点对应的引用设置成nullNode：若父节点为header,将树变为空树；否则如果当前节点为黑色，进行调整，保证删除项为红色，之后将要删除项的父节点的引用设置为nullNode。

4、红黑树删除：情况一、如果删除的节点 p 是红色的，这种结构性变化不会影响树中任何路径的黑色深度，也没有违反红色属性。情况一删除操作在其对应的（2,4）树 T^‘表示为 3-node或4-node的转移操作。情况二、如果删除的非根节点 p 是黑色的：1、节点 p 与兄弟 T 的儿子都是黑色；2、节点 p 的儿子是黑色，兄弟T有一个左儿子是红色；3、节点 p 的儿子是黑色，兄弟T有一个右儿子是红色；4、节点 p 的儿子是黑色，兄弟T儿子都是红色。在相应的（2,4）树 T^‘表示为从一个 2-node 节点中除去一个项目。如果没有重新平衡，删除操作会导致沿着通往删除项的路径的黑色深度不足！

5、如果删除的是左节点，则将前驱的值复制到该节点中，然后删除前驱;如果删除的是右节点，则将后继的值复制到该节点中，然后删除后继。

6、删除前驱或后驱相当于是一种“取巧”的方法，红黑树删除删除节点的目的是使该节点的（k，v）在红黑树上不存在。因此专注于该目的，不关注删除节点时是否真是想删除的那个节点，同时也不需考虑树结构的变化，因为树的结构本身就会因为自动平衡机制而经常进行调整。因为要删除的是左节点 64，找到该节点的前驱 63;然后用前驱的值 63替换待删除节点的值 64，此时两个节点(待删除节点和前驱)的值都为 63！

7、个人理解：前继或后继都是满足至多只有一个孩子的节点。如果是将位置p的（k，v）赋值为前继或后继节点的（k，v）都能维持搜索树的键的结构特性！选择前继和后继节点是一样的而效果！