浮点数

Posted 2020-11-24 shizunatsu

1.浮点数是什么

在计算机中表达实数的方式有定点数和浮点数。定点数的小数点位置固定，不能移动，浮点数的小数点位置可以移动。

所以一个浮点数可以有多种表达方式，如101.101可以表示成1.01101*2^2、1011.01*2^-1。

Java的float和double采用了IEEE 754标准中所定义的单精度 32 位浮点数和双精度 64 位浮点数的格式，用二进制的科学计数法来表示浮点数。

 

2.浮点数的表示

Java语言的浮点数有两种表示形式

十进制表示：123.0，23.45

科学计数法表示：8.3e2，9.2E-3

　　 1> e是exponent的首字母，指数的意思，表示10的几次方，大小写均可

　　 2> e或E之前必须有数，注意指数有正有负

        3> 只有浮点类型的数值才可以使用科学计数法形式表示。例如，51200是一个int类型的值，但512E2则是浮点类型的值

 

3.浮点数的内存

float在内存中占4个字节32位，内存区域分为三个部分。 

尾数位：0-22位，共23位

指数位（阶码位）：23-30位，共8位

符号位：最高位，0表示正数1表示负数

 

double在内存中占8个字节64位。最高位为符号位，接下来11位为指数位，最后52位为尾数位

 

根据IEEE754标准规定

对于阶码e ，如果不是0或者255， 就需要减去偏差值，对于float 是127 ，double是1023。减去偏差值的数值才是真正的指数
对于尾数M ，如果阶码不是0或者255，尾数的小数点左侧有一个默认的 1

 

4.浮点数的进制转换

十进制小数转二进制小数，整数部分和小数部分需要分开处理

• 整数部分：除以2直到商为0，反序取余

• 小数部分：乘以2，取结果的整数部分，再用结果的小数部分乘以2，如此循环下去，直到小数部分为0。然后将整数顺序排列。

　　　　　　　　如果小数部分永远不为0，则按规定进行取舍。

（因为可能出现永远不为0的情况，所以就注定了有些十进制小数无法用二进制小数精确表示）

来看一个具体例子

float f= 10.8125f；

10.8125整数部分转换为二进制是1010，小数部分转换成二进制是1101

所以10.8125对应的二进制小数位1010.1101，规范写法为1.0101101*10^3

底数去掉1和小数点为0101101，指数为3+127=130，二进制为10000010，符号位为0

即10.8125的二进制为

0100 0001 0010 1101 0000 0000 0000 0000

用程序看一下10.8125的二进制表示

System.out.println(Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(10.8125f)));

结果为

1000001001011010000000000000000

前面补0为

0100 0001 0010 1101 0000 0000 0000 0000

跟我们计算的一样

 

5.浮点数不精确

浮点数在计算机中用以近似表示任意某个实数。近似，是什么意思呢？就是用一个近似值去表示一个数。

浮点数并不一定等于小数。 

 

如float f = 0.1f ；计算机底层是无法用二进制去精确表示0.1的，它只会有一个无限接近于0.1的二进制小数

0.1f 在计算机中存储的二进制是  0011 1101 1100 1100 1100 1100 1100 1101，相当于10进制的0.100000001490116119384765

在计算机中，用0.100000001490116119384765这个近似值去表示小数0.1

打印出来也是0.1

 

那为什么0.1无法精确保存打印出来的却还是0.1？

因为浮点数就是用这个近似值去表示0.1的

只要你的二进制存储是这个，那么，Java会认为你就是浮点数0.1

尽管按照十进制的算法，这个数字并不等于0.1而是趋近于0.1.

但这也恰好印证了，浮点数不等于小数，而是以近似的方式去表示实数的

 

还有一种情况

float f = 5.2345556f;
System.out.println(f);//5.2345557

把5.2345556f赋值给一个float类型变量，接着输出这个变量时看到这个变量的值已经发生了改变。

 

为什么打印出来数字会发生变化？

1.计算机无法用二进制小数精确表示一个十进制小数

float f =  5.2345556f; 

在内存中的二进制为0100 0000 1010 0111 1000 0001 0111 1011，转换为十进制为5.234555721282958984375，保留8位精度为5.2345557

2.浮点数的取值范围

浮点数是有取值范围的，float的取值范围是-3.4*10^38 ~ 3.4*10^38

那么，它能够表达数轴上在这个范围内的所有数吗？显然是不能的，首先无限小数就无法表示。

如果把浮点数能够表示的所有数在数轴上一一列出来，我们会发现这不是一个完整的线段，而是中间带有间隔

 

参考：https://my.oschina.net/jasonli0102/blog/3013198

 

 6.当我们定义float f = 0.1时， 计算机是如何进行保存的？

首先分配4个字节去存储，然后把符号位、尾数位、指数位分别填入

 

这里我们看一下尾数位

将十进制的0.1 转换为二进制

小数部分乘以2　　　　0.1*2 = 0.2;　　0.2*2=0.4;　　0.4*2=0.8;　　0.8*2=1.6;　　0.6*2=1.2;(这里小数部分又得到了最开始的2，这意味着会无限循环下去)

取整数部分                          0　　　　　　0                       0                        1                     1         （接下来取到的整数是  0 0 1 1的循环）

 

所以0.1对应的二进制小数为0.0 0011 0011……（0011循环）

将其转换为浮点数的规范表达形式， 1.1001100110011……*2^-4

 

float的尾数除去默认的小数点前面的1，有23位。所以将小数点后面的值依次填入尾数，最后一位按照规定进行取舍，剩下的直接舍弃

忽略最后一位的取舍的话，尾数应该是 100 1100 1100 1100 1100 1100

查看一下0.1的二进制表示

System.out.println(Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(0.1f)));//111101110011001100110011001101

即尾数应该是 100 1100 1100 1100 1100 1101，除了最后一位，其他跟我们预想的一样

 

 　　

7.阶码为何使用偏差值，float偏差值为何是127？

float的偏差值是127（2^7-1），double的偏差值是1023(2^10-1)

阶码使用偏移量是为了简化运算。

指数是有正有负的。如果把指数位的最高位作为符号位的话，一个浮点数中就会有两个符号位了，那浮点数之间的比较和运算想必会困难许多。

使用了偏移量之后，用无符号整数既可以表示正指数，又可以表示负指数

 

为什么偏移量是127？

8位可以表示 0000 0000 ~ 1111 1111 即0~255共256个值

规范规定0000 0000与1111 1111用作特殊情况，所以除去0和255，阶码能表示1~254共254个值

为了平衡正负指数，选取了1~254中间的值127。

 

8.浮点数取值范围

当尾数位全部为1时，底数取得最大值，接近于2。当尾数位全部置0时，底数取得最小值，为1。故底数的取值范围为 1~2。

指数位的取值范围为1~254，减去偏差值为 -126~127，故指数的取值范围为-126~127。

因此float型的取值范围为：
-2*2^127 ~ -1*2^(-126) 与 1*2^(-126) ~ 2*2^127
转化得：
-3.4*10^38 ~ -1.2*10^(-38) 与 1.2*10^(-38) ~ 3.4*10^38

 

9.浮点数的大小比较

在二进制中，是通过符号位、指数位、尾数位分别比较得到结果的

有一个不相等则不相等

注意指数位的比较，比较的是减去偏移量之后的数

 

 

10.浮点运算

浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入

完成浮点加减运算的操作过程大体分为四步：

1. 0 操作数的检查；

2. 比较阶码大小并完成对阶；

3. 尾数进行加或减运算；

4. 结果规格化并进行舍入处理。

 

对于0.1+0.2,为什么不精确？

因为这种情况，至少有一个就不能精确表示，然后运算的时候是底层二进制进行运算。