礼物：多项式

Posted 2020-11-23 hzoi-deepinc

Description:

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手环，一个留给自己，一个送给她。每个手环上各有n个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。

但是在她生日的前一天，我的室友突然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！

他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有装饰物的亮度增加一个相同的整数x（可能是负数）。

并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，但是由于上面装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差异值最小。

在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号1,2,...,n，其中n为每个手环的装饰物个数。第一个手环的i号位置装饰物亮度为$a_i$ ，第二个手环的j号位置装饰物亮度$b_j$。两个手环之间的差异值为：$sumlimits_{i=1}^{n} (a_i-b_i)^2$

麻烦你帮他计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小，这个最小值是多少呢？

n<=50000 m<=100

skyh说这道题是水题。

然后NC在那里笑，我就以为是skyh在骗我。于是我想暴打他。

然而我在化学学考上想了十几分钟就会了，所以我就不打算暴打skyh了。

断环成链是常识。

——By Paris

所以就把一个手环断开。

先加入它已经对齐了。想想最后的答案吧。

$sumlimits_{i=1}^{n} (a_i - b_i - x)$

$=sumlimits_{i=1}^{n} a_i^2 + b_i^2 + x^2 -2a_i x + 2 b_i x - 2 a_i b_i$

于是发现关于x的部分可以解一元二次方程解决。然而我不会，所以枚举x值取最优也是可以的。

（我本来会的可是不知道为什么WA90自闭）

所以上面这个式子唯一一个需要求的就是$sumlimits_{i=1}^{n} a_i imes b_i$

而这里ab可以错位，错位之后还要求和。怎么办？

假如对齐位置是p，那么断环成链后就是$sumlimits_{i=1}^{n} a_{p+i} imes b_i$

这个形式就是《快速傅丽叶变化之二》。把b翻转就完了。

 1 #include<cstdio>
 2 #define mod 998244353
 3 #define int long long
 4 int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
 5 int a[263333],b[263333],n,A,B,ans,len=1,rev[263333],mx=-1e16,m,mx2=-1e16;
 6 int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;}
 7 void NTT(int *a,int opt){
 8     for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
 9     for(int mid=1;mid<len;mid<<=1)
10         for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1)
11             for(int j=0,w=1,x,y;j<mid;++j,w=w*t%mod)
12                 x=a[i+j],y=a[i+j+mid]*w%mod,a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
13     if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod;
14 }
15 signed main(){
16     scanf("%lld%lld",&n,&m);
17     for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lld",&a[i]),ans+=a[i]*a[i],a[i+n]=a[i],A+=a[i];
18     for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lld",&b[i]),ans+=b[i]*b[i],B+=b[i];
19     while(len<=n*3)len<<=1;
20     for(int x=-m;x<=m;++x)mx2=max(mx2,-n*x*x+2*(A-B)*x);
21     ans-=mx2;
22     for(int i=0;i<n-1-i;++i)b[i]^=b[n-1-i]^=b[i]^=b[n-1-i];
23     for(int i=1;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0);
24     NTT(a,1);NTT(b,1);for(int i=0;i<len;++i)a[i]=a[i]*b[i]%mod;NTT(a,-1);
25     for(int i=0;i<n;++i)mx=max(mx,a[i+n]);
26     printf("%lld
",ans-2*mx);
27 }

我还是想暴打skyh怎么办啊？