loj6295. 无意识之外的捉迷藏

Posted 2020-11-23 psimonw

题意

略。

题解

神仙纳什均衡。
首先，这张图是个有向无环图，大大简化了问题。
为了方便，我们将追捕者叫做A，被追捕者叫做B。
考虑在上面dp，设(f_{x, y, t})为当前在(t)时刻末，且A在点(x)，B在点(y)时的期望得分。（注意，A要最小化这个期望得分，B要最大化这个期望得分）
假设我们已经知道了(t + 1)时刻各种情况的答案，则考虑A和B如何做出最优决策。
做出最优决策，可以从A的角度单方面考虑，理解为A在以概率数组({p_i})对所有转移状态作决策时，B能做出一种相应的决策以最大化得分，而A要做出一个最优决策（对应一个最优的({p_i})），使得B最大化的得分是A能做的所有决策中最小的。
以上也就是纳什均衡的模型。
关于本题的一些简单情形的纳什均衡模型可以看这里提到的。
重要的是把这个纳什均衡模型转化为一个可用数学语言表达的东西。
设(e_{i, j})为A做出第(i)种决策，B做出第(j)种决策的期望得分，并设A有(n)种决策，B有(m)种决策，当前的期望得分为(S)，则
[ ext{minimize} S \sum_{i = 1} ^ n p_i = 1 \forall j in [1, m], sum_{i = 1} ^ n p_i e_{i, j} leq S ]
变换一下，(x_i = frac{p_i}{S})，则(S = frac{1}{sum x_i})，有
[ ext{minimize} sum_{i = 1} ^ n x_i \forall j in [1, m], sum_{i = 1} ^ n x_i e_{i, j} leq 1 ]
则用单纯形求解即可。复杂度不关键，关键是跑的很快。
坠痛苦的是单纯形不会打了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
const int N = 45;
const db eps = 1e-8, inf = 1e9;
int n, m, t, sr, sk;
bool vis[N][N][N];
db dp[N][N][N];
vector <int> g[N];
void add (int x, int y) {
    g[x].push_back(y);
}
namespace LinearPro {
    int n, m, id[N]; db a[N][N];
    // id means x_id[i] sits on the position where x_i originally sat
    void pivot (int b, int nb) {
        swap(id[b + n], id[nb]);
        db k = -a[b][nb]; a[b][nb] = -1;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            a[b][i] /= k;
        }
        for (int i = 0; i <= m; ++i) {
            if (a[i][nb] && i != b) {
                k = a[i][nb], a[i][nb] = 0;
                for (int j = 0; j <= n; ++j) {
                    a[i][j] += a[b][j] * k;
                }
            }
        }
    }
    void init () {
        for (int i = 1; i <= n + m; ++i) {
            id[i] = i;
        }
        for ( ; ; ) {
            int b = 0, nb = 0; double w = -eps;
            for (int i = 1; i <= m; ++i) {
                if (a[i][0] < w) {
                    b = i, w = a[i][0];
                }
            }
            if (!b) {
                break;
            }
            for (int i = 1; i <= n; ++i) {
                if (a[b][i] > eps) {
                    nb = i;
                    break;
                }
            }
            pivot(b, nb);
        }
    }
    db simplex () {
        for ( ; ; ) {
            int b = 0, nb = 0; double w = eps;
            for (int i = 1; i <= n; ++i) {
                if (a[0][i] > w) {
                    nb = i, w = a[0][i];
                }
            }
            if (!nb) {
                break;
            }
            w = inf;
            for (int i = 1; i <= m; ++i) {
                if (a[i][nb] < -eps) {
                    if (-a[i][0] / a[i][nb] < w) {
                        b = i, w = -a[i][0] / a[i][nb];
                    }
                }
            }
            pivot(b, nb);
        }
        db ret = 0;
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            if (id[n + i] <= n) {
                ret += a[i][0];
            }
        }
        return 1.0 / ret;
    }
}
db dfs (int x, int y, int z) {
    if (vis[x][y][z]) {
        return dp[x][y][z];
    }
    vis[x][y][z] = 1;
    if (x == y) {
        return dp[x][y][z] = 0;
    }
    if (z == t) {
        return dp[x][y][z] = 1;
    }
    for (auto i : g[x]) {
        for (auto j : g[y]) {
            dfs(i, j, z + 1);
        }
    }
    int n = 0, m = 0;
    for (auto i : g[x]) {
        ++n, m = 0;
        for (auto j : g[y]) {
            LinearPro :: a[++m][n] = dp[i][j][z + 1] + 1;
        }
    }
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
        LinearPro :: a[0][j] = -1;
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        LinearPro :: a[i][0] = -1;
    }
    LinearPro :: n = n, LinearPro :: m = m;
    LinearPro :: init();
    dp[x][y][z] = LinearPro :: simplex();
    return dp[x][y][z];
}
int main () {
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &sr, &sk, &t);
    for (int i = 1, x, y; i <= m; ++i) {
        scanf("%d%d", &x, &y), add(x, y);
    }
    for  (int i = 1; i <= n; ++i) {
        add(i, i);
    }
    printf("%.3lf
", dfs(sr, sk, 0));
    return 0;
}