小小知识点（四十四）光波的数学表达式——波函数

Posted 2020-11-23 weinapang

光波的数学表达式——波函数

光波的定义

光波，通常是指电磁波谱中的可见光。可见光通常是指频率范围在3.9×10¹⁴~7.5×10¹⁴Hz之间的电磁波（由于频率数值太大，通常会用波长表示），其真空中的波长约为400~760nm，有些人甚至能感知到380nm-780nm。光在真空中的传播速度为c=3×10⁸m/s，是自然界中物质运动的最快速度。（摘自百度百科）

光波作为一种特定频段是电磁波，其颜色与频率有关。可见光中紫光频率最大，波长最短。红光则刚好相反。

 

光波的属性

光波具有波粒二象性（是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质）：也就是说

从微观来看，由光子组成，具有粒子性；

从宏观来看又表现出波动性。

光波是横电磁波，其中电场强度E和磁感应强度B（或磁场强度H）彼此相互垂直，并且都与传播方向垂直。

     

 （看动图：https://baike.baidu.com/pic/%E5%85%89%E6%B3%A2/10730221/0/023b5bb5c9ea15ce0be0c16ab1003af33a87b242?fr=lemma&ct=single#aid=0&pic=023b5bb5c9ea15ce0be0c16ab1003af33a87b242）

注：光的传播形态分类

根据传播方向上有无电场分量或磁场分量，可分为如下三类，任何光都可以这三种波的合成形式表示出来。

TEM波：在传播方向上没有电场和磁场分量，称为横电磁波。

TE波：在传播方向上有磁场分量但无电场分量，称为横电波。

TM波：在传播方向上有电场分量而无磁场分量，称为横磁波。

注：横波和纵波分别指的是：

波的振动方向与传播方向垂直的波称为横波，电磁波就是横波；

波的振动方向和传播方向一致的波叫做纵波，如声波

 

光波的数学描述-波函数(描述光波场（电场）在时间和空间上的分布)

波动的特征：

波，振动的传播。振动在空间的传播形成 物理量在空间的分布，形成波场。

      ==》光波中包含有电场矢量和磁场矢量，从波的传输特性来看，它们处于同样的地位，但是从光与介质的相互作用来看，其作用不同。在通常应用的情况下，磁场的作用远比电场弱，甚至不起作用。因此，通常把光波中的电场矢量称为光矢量，把电场E的振动称为光振动，在讨论光的波动特性时，只考虑电场矢量E即可。

 

波动的最基本特征是具有周期性。

      ==》光波场具有时间和空间两重周期性。

利用麦克斯韦方程表示光波（电场和磁场）和介质的相互作用，得到亥姆霍兹波动方程，通过求解该波动方程得到任意位置传播光波的场

1 平面波——一维平面简谐波和三维平面简谐波

单色平面波，波只有单一频率w，其振幅和传播方向均不变。等相位面位平面，且这些平面垂直于光波传播矢量k

一维平面简谐波

 其中kz项是因为光程产生的相位差，kz=2*pi/λ*z （光程差相位差之间的数学关系式，见小小知识点四十三）

 

 

 

用复函数表示波动，在运算中带来了方便，应强调的是只有复函数中E的实数部分才代表真正的物理量。因此+-两种形式是完全等效的

 

 三维平面简谐波

 

单色平面波并不是Maxwell方程组唯一的解，一些在光学中遇到的波如：球面波和高斯波也是他的解

2 球面波

 球面波：等相面和等振幅面为球面，且所有等相面有共同中心的波，如点光源或汇聚中心

1 观察点与发散球面波中心的距离为r时的复场幅

采用球面坐标系，把球心取做坐标系的原点，则k与r的方向永远相同，E的大小只与半径r和时间t有关

 

 

  

2 在给定观察平面的复场幅分布

采用直角坐标系，光源位于z=0的平面上坐标（x0，y0）

 

 

 

===》得到z处观察平面上的近轴近似光波场分布如下

             则等相线方程为

 

3 高斯波