给出一张DAG图，问最少加多少条有向边s.t.其强联通？

Posted 2020-11-23 golden-elf

对于这个问题，可以简化成以下等价（证明略去）版本：

给出一张n个点的DAG图，图中的点出度（简称cd）或者入度（简称rd）为0，问最少加多少有向条边，s.t.其强联通？

 

定理1：对于一张n个点的DAG图，图中的点出度或者入度为0，最少只需要加n-1条有向边，就可以使其强联通。

·证明：初始状态下，加入第一条边，至多产生一个强联通分量，并且这个强联通分量中只包含两个点（证明略去）。为了最小化加入有向边的数目，之后加入的有向边，一定不在这个强联通分量内部（因为它不会使得强联通分量的大小增加）。而无论是从这个分量中的任意一点引出一条边，还是引入任意一条边到这个分量中的点，都相当于对这个分量中所有的点进行了操作。于是可以把这个强联通分量缩成一个点，图中点数减一，回到初始状态。不难发现，我们最少只需要加n-1条有向边，或者说至少需要加n-1条有向边，才可以让DAG图中只剩下一个点，这个点就是我们要的强联通分量的缩点。

 

根据定理1，答案的最小值为n-1。现在只要找到一种对于任意只存在cd=0或者rd=0的点的DAG图都可行的方法，s.t.加入n-1条有向边后整个图强联通，那么n-1就是最终的答案。

1.首先考虑cd=0的点和rd=0的点交集为空，即不存在孤立点。恰好，按照这样构造：假设rd=0的点有a个，cd=0的点有b个，加入a-1条有向边s.t.rd=0的点连成一条链，然后加入b-1条有向边s.t.cd=0的点连成一条链，最后加入一条从cd=0形成的链链尾指向rd=0的链链首的有向边即可（强连通性证明略去）。共添加了a-1+b-1+1=a+b-1=n-1条有向边。

2.接着考虑cd=0的点和rd=0的点交集不为空，即存在孤立点。假设孤立点个数为c。孤立点作为链首，加入c+a-1条边把孤立点和rd=0且cd!=0的点连成一条链，加入b-1条边把cd=0且rd!=0的点连成一条链，最后从cd=0且rd!=0的点链尾引一条有向边到孤立点和rd=0且cd!=0的点形成的链的链首即可。（强连通性证明略去）共添加了c+a-1+b-1+1=a+b+c-1=n-1条有向边。

 

还有一种极端情况，假设图中没有边存在，那么就需要加入n条边（相差的这1条边实际上由原图中的边代替了）。

 

综上，对于任意一张存在边的DAG图，假设其rd=0或者cd=0的点有n个，则只需要加n-1条边就可使其强联通；对于没有边存在的DAG图，则需要加n条边。