Minimum Snap轨迹规划详解

Posted 2020-11-23 long5683

一. 轨迹规划是什么？

在机器人导航过程中，如何控制机器人从A点移动到B点，通常称之为运动规划。运动规划一般又分为两步：

    1、路径规划：在地图（栅格地图、四八叉树、RRT地图等）中搜索一条从A点到B点的路径，由一系列离散的空间点（waypoint）组成。

    2、轨迹规划：由于路径点可能比较稀疏、而且不平滑，为了能更好的控制机器人运动，需要将稀疏的路径点变成平滑的曲线或稠密的轨迹点，也就是轨迹。

2. 轨迹是什么？

轨迹一般用n阶多项式(polynomial)来表示，即

 

p(t)=p0+p1t+p2t2...+pntn=∑i=0npiti

其中p0,p1,...,pn为轨迹参数（n+1个），设参数向量p=[p0,p1,...,pn]T，则轨迹可以写成向量形式，

 

p(t)=[1,t,t2,...,tn]⋅p

对于任意时刻t，可以根据参数计算出轨迹的位置P(osition)，速度V(elocity)，加速度A(cceleration)，jerk，snap等。

 

v(t)=p′(t)=[0,1,2t,3t2,4t3,...,ntn−1]⋅pa(t)=p′′(t)=[0,0,2,6t,12t2,...,n(n−1)tn−2]⋅pjerk(t)=p(3)(t)=[0,0,0,6,24t,...,n!(n−3!)tn−3]⋅psnap(t)=p(4)(t)=[0,0,0,0,24,...,n!(n−4!)tn−4]⋅p

 

一个多项式曲线过于简单，一段复杂的轨迹很难用一个多项式表示，所以将轨迹按时间分成多段，每段各用一条多项式曲线表示，形如：

 

p(t)=?????????[1,t,t2,...,tn]⋅p1   t0≤t<t1[1,t,t2,...,tn]⋅p2   t1≤t<t2...[1,t,t2,...,tn]⋅pk   tk−1≤t<tk

k为轨迹的段数，pi=[pi0,pi1,...,pin]T为第i段轨迹的参数向量。

 

 

此外，实际问题中的轨迹往往是二维、三维甚至更高维，通常每个维度单独求解轨迹。

1. 轨迹规划是什么？
在机器人导航过程中，如何控制机器人从A点移动到B点，通常称之为运动规划。运动规划一般又分为两步：
    路径规划：在地图（栅格地图、四八叉树、RRT地图等）中搜索一条从A点到B点的路径，由一系列离散的空间点（waypoint）组成。    轨迹规划：由于路径点可能比较稀疏、而且不平滑，为了能更好的控制机器人运动，需要将稀疏的路径点变成平滑的曲线或稠密的轨迹点，也就是轨迹。
2. 轨迹是什么？
轨迹一般用n阶多项式(polynomial)来表示，即p(t)=p0+p1t+p2t2...+pntn=∑i=0npiti
其中p0,p1,...,pn为轨迹参数（n+1个），设参数向量p=[p0,p1,...,pn]T，则轨迹可以写成向量形式，p(t)=[1,t,t2,...,tn]⋅p
对于任意时刻t，可以根据参数计算出轨迹的位置P(osition)，速度V(elocity)，加速度A(cceleration)，jerk，snap等。v(t)=p′(t)=[0,1,2t,3t2,4t3,...,ntn−1]⋅pa(t)=p′′(t)=[0,0,2,6t,12t2,...,n(n−1)tn−2]⋅pjerk(t)=p(3)(t)=[0,0,0,6,24t,...,n!(n−3!)tn−3]⋅psnap(t)=p(4)(t)=[0,0,0,0,24,...,n!(n−4!)tn−4]⋅p
一个多项式曲线过于简单，一段复杂的轨迹很难用一个多项式表示，所以将轨迹按时间分成多段，每段各用一条多项式曲线表示，形如：p(t)=?????????[1,t,t2,...,tn]⋅p1   t0≤t<t1[1,t,t2,...,tn]⋅p2   t1≤t<t2...[1,t,t2,...,tn]⋅pk   tk−1≤t<tk
k为轨迹的段数，pi=[pi0,pi1,...,pin]T为第i段轨迹的参数向量。
此外，实际问题中的轨迹往往是二维、三维甚至更高维，通常每个维度单独求解轨迹。3. Minimum Snap轨迹规划
轨迹规划的目的：求轨迹的多项式参数p1,...,pk
。我们可能希望轨迹满足一系列的约束条件，比如：希望设定起点和终点的位置、速度或加速度，希望相邻轨迹连接处平滑（位置连续、速度连续等），希望轨迹经过某些路径点，设定最大速度、最大加速度等，甚至是希望轨迹在规定空间内（corridor）等等。通常满足约束条件的轨迹有无数条，而实际问题中，往往需要一条特定的轨迹，所以又需要构建一个最优的函数，在可行的轨迹中找出“最优”的那条特定的轨迹。所以，我们将问题建模（fomulate）成一个约束优化问题，形如：minf(p)s.t.  Aeqp=beq,        Aieqp≤bieq
这样，就可以通过最优化的方法求解出目标轨迹参数p。注意：这里的轨迹参数p是多端polynomial组成的大参数向量p=[pT1,pT2,...,pTk]T。我们要做的就是：将优化问题中的f(p)函数和Aeq,beq,Aieq,bieq参数给列出来，然后丢到优化器中求解轨迹参数p。Minimum Snap顾名思义，Minimum Snap中的最小化目标函数是Snap（加加加速度），当然你也可以最小化Acceleration（加速度）或者Jerk（加加速度），至于它们之间有什么区别，quora上有讨论。一般不会最小化速度。minimum snap: minf(p)=min(p(4)(t))2minimum jerk: minf(p)=min(p(3)(t))2minimum acce: minf(p)=min(p(2)(t))2
4. 一个简单的例子
给定包含起点终点在内的k+1个二维路径点pt0,pt1,...,ptk，pti=(xi,yi)，给定起始速度和加速度为v0,a0，末端加速度为ve,ae
，给定时间T，规划出经过所有路径点的平滑轨迹。a. 初始轨迹分段与时间分配
根据路径点，将轨迹分为k段，计算每段的距离，按距离平分时间T(匀速时间分配)，得到时间序列t0,t1,...,tk
。对x,y维度单独规划轨迹。后面只讨论一个维度。时间分配的方法：匀速分配或梯形分配，假设每段polynomial内速度满足匀速或梯形速度变化，根据每段的距离将总时间T分配到每段。这里的轨迹分段和时间分配都是初始分配，在迭代算法中，如果corridor check和feasibility check不满足条件，会插点或增大某一段的时间，这个后续细说。b. 构建优化函数
Minimum Snap的优化函数为：min∫T0(p(4)(t))2dt=min∑i=1k∫titi−1(p(4)(t))2dt=min∑i=1k∫titi−1([0,0,0,0,24,...,n!(n−4!)tn−4]⋅p)T[0,0,0,0,24,...,n!(n−4!)tn−4]⋅p dt=min∑i=1kpT∫titi−1[0,0,0,0,24,...,n!(n−4!)tn−4]T[0,0,0,0,24,...,n!(n−4!)tn−4] dt p=min∑i=1kpTQip
其中，Qi=∫titi−1[0,0,0,0,24,...,n!(n−4!)tn−4]T[0,0,0,0,24,...,n!(n−4!)tn−4] dt=[04×40(n−3)×404×(n−3)r!(r−4)!c!(c−4)!1(r−4)+(c−4)+1(t(r+c−7)i−t(r+c−7)i−1)]
注意：r,c为矩阵的行索引和列索引，索引从0开始，即第一行r=0。Q=???????Q1Q2?Qk???????minpTQp
可以看到，问题建模成了一个数学上的二次规划（Quadratic Programming，QP）问题。
c. 构建等式约束方程
    设定某一个点的位置、速度、加速度或者更高为一个特定的值，可以构成一个等式约束。例如：    位置约束：[1,t0,t20,...,tn0,0...0(k−1)(n+1)]p=p0速度约束：[0,1,2t0,...,ntn−10,0...0(k−1)(n+1)]p=v0加速度约束：[0,0,2,...,n(n−1)tn−20,0...0(k−1)(n+1)]p=a0

由于要过中间点，对中间点的位置也构建等式约束，方法同上。相邻段之间的位置、速度、加速度连续可以构成一个等式约束，例如第i、i+1段的位置连续构成的等式约束为[0...0(i−1)(n+1),1,ti,t2i,...,tni,−1,−ti,−t2i,...,−tni,0...0(k−i−1)(n+1)]p=0

    速度、加速度连续类似，不再罗列。
合并所有等式约束，得到????????????????????????????????????????????????????????1,t0,t20,...,tn0,0...0(k−1)(n+1)0,1,2t0,...,ntn−10,0...0(k−1)(n+1)0,0,2,...,n(n−1)tn−20,0...0(k−1)(n+1)?0...0(i−1)(n+1),1,ti,t2i,...,tni,0...0(k−i)(n+1)?0...0(k−1)(n+1),1,tk,t2k,...,tnk0...0(k−1)(n+1),0,1,2tk,...,ntn−1k0...0(k−1)(n+1),0,0,2,...,n(n−1)tn−2k0...0(i−1)(n+1),1,ti,t2i,...,tni,−1,−ti,−t2i,...,−tni,0...0(k−i−1)(n+1)0...0(i−1)(n+1),0,1,2ti,...,ntn−1i,−0,−1,−2ti,...,−ntn−1i,0...0(k−i−1)(n+1)0...0(i−1)(n+1),0,0,2,...,n!(n−2)!tn−2i,−0,−0,−2,...,−n!(n−2)!tn−2i,0...0(k−i−1)(n+1)????????????????????????????????????????????????????????(4k+2)×(n+1)kp=????????????????????????????p0v0a0?pi?pkvkak0?0????????????????????????????
等式约束个数=3（起始PVA）+k-1（中间点的p）+3（终点pva）+3(k-1)（中间点PVA连续）=4k+2
d. 构建不等式约束
不等式约束与等式约束类似，也是设置某个点的P、V、A小于某一特定值，从而构建Aieqp=bieq
，不等式约束一般是在corridor中用的比较多，这里暂时先不使用不等式约束。e. 求解
利用QP求解器进行求解，在MATLAB中可以使用quadprog() 函数，C++的QP求解器如OOQP，也可以自己去网上找。————————————————版权声明：本文为CSDN博主「不掉发码农」的原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。原文链接：https://blog.csdn.net/q597967420/article/details/76099491