算法 - 递归和迭代

Posted 2020-11-23 wangqiwen-jer

递归和迭代算法深入分析             

原文链接：https://blog.csdn.net/liujian20150808/article/details/49717427

 

 

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 递归的定义：

程序调用自身的编程技巧称为递归（ recursion）。

迭代的定义：

迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果。每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值。

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 接下来我们从一道题来引入这两种算法的比较：

题目描述： QAQ在一个楼梯上，QAQ现在位于第0阶，无聊的QAQ发现，以他腿的长度，每次可以上1阶，2阶，3阶，而这个台阶一共有N阶，那么QAQ走到第N阶共有多少种走法？
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多组测试数据，每组数据一行，包含一个数字N。（1 <= N <= 30）
对于每组数据：
输出到达第N阶共有多少种走法？

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 解题思路：可以从1开始列举，直到找出规律，原理是加法原理

算法描述：如果用n表示台阶的级数,a n表示某人走到第n级台阶时,所有可能不同的走法,容易得到：
① 当 n=1时,显然只要1种跨法,即a 1=1.
② 当 n=2时,可以一步一级跨,也可以一步跨二级上楼,因此,共有2种不同的
跨法,即a 2=2.
③ 当 n=3时,可以一步一级跨,也可以一步三级跨,还可以第一步跨一级,第二步跨二级或第一步跨二级,第二步跨一级上楼,因此,共有4种不同的跨法,即a 3=4.
④ 当 n=4时,分三种情况分别讨论跨法：
如果第一步跨一级台阶,那么还剩下三级台阶,由③可知有a3 =4（种）跨法.
如果第一步跨二级台阶,那么还剩下二级台阶,由②可知有a2 =2（种）跨法.
如果第一步跨三级台阶,那么还剩下一级台阶,由①可知有a1 =1（种）跨法.
根据加法原理,有a 4= a1 +a2 +a3 =1+2+4=7
类推 ,有
a5= a2 +a3+a4 =2+4+7=13
a6= a3 +a4+a5 =4+7+13=24
a7= a4 +a5+a6=7+13+24=44
a8= a5 +a6 +a7 =13+24+44=81

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1.递归算法的源代码：

int digui(int n)
{
if(n == 1) return 1;
if(n == 2) return 2;
if(n == 3) return 4;
else return digui(n - 1) + digui(n - 2) + digui(n - 3);
}

   

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显然，当n值到了34就超时了，这是为什么呢？
下面我们来分析一下该递归程序的运行过程：
当n = 1,2,3的时候，该递归函数都只需要调用1次。
当n = 4的时候，return digui(1) + digui(2) + digui(3)   此时，该递归函数被调用了3次。
当n = 5的时候，return digui(2) + digui(3) + digui(4)   此时，该递归函数被调用了1+1+3=5次。
当n = 6的时候，return digui(3) + digui(4) + digui(5)   此时，该递归函数被调用了1+3+5=9次。
以此类推，有
n7 = n4 + n5 + n6 = 3 + 5 + 9 = 17
n8 = n5 + n6 + n7 = 5 + 9 +17 = 31
n9 = n6 + n7 + n8 = 9+ 17 + 31 = 57
......
这样计算下去到n = 34 的时候，该递归函数累计被调用了235795681次，已经是达到了亿的级别，如果是放在实际工作中，是一件多么可怕的事情，因为使用递归算这种类型的题目，会重复计算很多次，比如说当n = 34的时候，n = 1的时候的取值就被重复计算了53798080-1 = 53798079（可通过递归调用计算次数），重复计算次数都超过了5000万，可想而知算法的效率是多么的低，因此我们可以换一种思路，尽量减少重复计算的次数而提高算法效率，从而引进迭代算法。

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2.迭代算法的源代码：

a1 = 1;
a2 = 2;
a3 = 4;
for(i = 4;i <= N;i++)
{
sum = a1 + a2 + a3;
a1 = a2;
a2 = a3;
a3 = sum;
}

 

而迭代算法到n = 34的时候，耗费的时间也还是忽略不计的
下面分析一下迭代算法的过程：
当n = 1,2,3的时候，跳过for循环，而输出的sum为自身值。
当n = 4的时候，此时for循环次数为1次，计算得sum = 1 + 1 + 1 = 3；
当n = 5的时候，此时for循环次数为2次，第一次计算得sum = 3，然后a2的值赋给a1，a3的值赋给a2，sum的值赋给a3，此时新的a1 = 1，a2 = 1，a3 = 3，然后程序运行到调整部分进行第二次循环，计算得sum = 5，然后跳出for循环输出sum的值为5.
以此类推当n = 6，n = 7......的过程与上述过程类似。
迭代的主要思想就是不断地以旧值来替换新值，从而有效的减少重复计算的次数。
像以上的迭代算法的源代码，当n = 34时，重复计算n = 1，n = 2......的次数均为0，迭代程序就是从n = 4一直计算到n = 34的过程中，一直用旧值替换新值。程序耗费的时间只有for循环耗费的时间。与N的大小有关，呈线性O(n)阶，而且是系数为1的线性阶，for循环的执行次数为n-4.
综上所述，当处理小的循环问题或者是阶乘等问题时，递归算法是一种效率非常低的算法，在找得到更好的算法的情况下，最好不要使用递归算法。