贪心算法？我全都要！——算法第四章上机实践报告

Posted 2020-11-22 990924991101ywg

算法第四章上机实践报告

一、        实践题目

4-1 程序存储问题 (90 分)

设有n 个程序{1,2,…, n }要存放在长度为L的磁带上。程序i存放在磁带上的长度是 li，1≤i≤n。 程序存储问题要求确定这n 个程序在磁带上的一个存储方案， 使得能够在磁带上存储尽可能多的程序。 对于给定的n个程序存放在磁带上的长度，计算磁带上最多可以存储的程序数。

输入格式:

第一行是2 个正整数，分别表示文件个数n和磁带的长度L。接下来的1行中，有n个正整数，表示程序存放在磁带上的长度。

输出格式:

输出最多可以存储的程序数。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

6 50

2 3 13 8 80 20

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

5

 

二、        问题描述

先输入程序个数和磁带长度，下一行依次输入每个程序的长度，从而选择一种储存方式使得储存的程序个数最多（选择的程序总长不能超过磁带长度）。

要尽可能多的储存程序，那么只需要每次都挑最短的加入进磁带即可，用到贪心算法的思维，可描述为：

式中，变量xi=0表示第i个程序不装入磁带，xi=1表示第i个程序装入磁带，L是磁带总长，li是第i个程序的长度。

三、        算法描述

1、贪心算法

    sort(a,a+n);
    int p = 0, count = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        count += a[i];
        if(count <= m) {
            p++;
        }
    }

 

策略：每次都选择长度最小的加入（用sort直接按从小到大排好序）

证明：

       设程序长度按从小到大排序，（x1，x2，…，xn）是一个最优解，设k = min { i | xi = 1 }（1≤i≤n），如果该问题有解，则1≤k≤n。

①    当k=1时，（x1，x2，…，xn）是一个满足贪心选择性质的最优解。

②    当k>1时，取y1=1，yk=0，yi=xi，1＜i≤n，i≠k，则

 

因此，（y1，y2，…，yn）是所给问题的可行解。

另一方面，由知，（y1，y2，…，yn）是满足贪心选择性质的最优解。

最优子结构：

       设（x1，x2，…，xn）是该问题的满足贪心选择性质的最优解，则x1=1，（x2，x3，…，xn）是磁带可用长度为L-l1、待选择程序为{2，3，…，n}时相应最优装载问题的最优解。也就是说，该问题具有最优子结构性质。

 

2、判断是否超过总长度

将从小到大的排好序的程序依次加入磁带，如果超出总长度就停止。用一个变量count来记录已用长度，用p来记录加入的程序数。

 

3、完整代码

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 int main(){
 5     int n,m;
 6     cin>>n>>m;
 7     int a[n];
 8     for(int i = 0; i < n; i++) {
 9         cin>>a[i];
10     }
11     sort(a,a+n);
12     int p = 0, count = 0;
13     for(int i = 0; i < n; i++) {
14         count += a[i];
15         if(count <= m) {
16             p++;
17         }
18     }
19     cout<<p<<endl;
20     return 0;
21 } 

完整代码

 

算法时间及空间复杂度分析

sort排序+循环遍历所有程序，不断加入磁带直到达到最大长度限制，所以时间复杂度为O(n)，这里贪心算法只是一个sort排序，贪心算法的时间复杂度为O(nlogn)。

解这道题中，只用到了存储数据的本来的数组a[n]，将本来的数组进行排序，没有用到辅助空间。

 

四、        心得体会

贪心问题，做起来我自己感觉，比起前面的动态规划，分治问题都要简单许多。就是在寻找一个贪心策略，举出反例的话就换一个，最后得到最好的，一般都是“最什么什么的”策略，很好想，也较好打出代码。